特征多项式的根和特征值不相同

Question

这是矩阵B

B = [1 2 0 ; 2 4 6 ; 0 6 5]

eig(B)的结果是：

{-2.2240, 1.5109, 10.7131}

而B被this link的特征多项式为

syms x
polyB = charpoly(B,x)
x^3 - 10*x^2 - 11*x + 36

但是solve(polyB)的答案是

133/(9*(3^(1/2)*5492^(1/2)*(i/3) + 1009/27)^(1/3)) + ((3^(1/2)*5492^(1/2)*i)/3 + 1009/27)^(1/3) + 10/3
 (3^(1/2)*(133/(9*(3^(1/2)*5492^(1/2)*(i/3) + 1009/27)^(1/3)) - ((3^(1/2)*5492^(1/2)*i)/3 + 1009/27)^(1/3))*i)/2 - 133/(18*(3^(1/2)*5492^(1/2)*(i/3) + 1009/27)^(1/3)) - ((3^(1/2)*5492^(1/2)*i)/3 + 1009/27)^(1/3)/2 + 10/3
 10/3 - 133/(18*(3^(1/2)*5492^(1/2)*(i/3) + 1009/27)^(1/3)) - ((3^(1/2)*5492^(1/2)*i)/3 + 1009/27)^(1/3)/2 - (3^(1/2)*(133/(9*(3^(1/2)*5492^(1/2)*(i/3) + 1009/27)^(1/3)) - ((3^(1/2)*5492^(1/2)*i)/3 + 1009/27)^(1/3))*i)/2

我不知道它是什么，但我希望它是 B 的特征值。有什么问题？

Answer 1

我不明白你为什么添加 x 和符号数学，它们不是你任务所必需的。

B = [1 2 0 ; 2 4 6 ; 0 6 5]
cp=charpoly(B)
eig2=roots(cp)

returns:

但是，如果出于某种原因你坚持使用符号（你不应该用于数字任务），你可以这样做

double(solve(polyB))

ans =

  10.7131 + 0.0000i
  -2.2240 - 0.0000i
   1.5109 - 0.0000i

（注意虚部为零）

Answer 2

由于我这台机器没有MATLAB，所以我会用SymPy代替：

>>> from sympy import *
>>> B = Matrix([[1, 2, 0],
                [2, 4, 6],
                [0, 6, 5]])

计算特征多项式及其根：

>>> s = Symbol('s')
>>> p = (s*eye(3) - B).det()
>>> p
s**3 - 10*s**2 - 11*s + 36
>>> roots = solve(p,s)

计算三个根的floating-point近似值：

>>> [ r.evalf() for r in roots ]
[1.51092975992931 - 0.e-22*I, -2.22404024437578 + 0.e-22*I, 10.7131104844465 - 0.e-20*I]

因为B是对称的，它的特征值一定是实数。请注意，根的 floating-point 近似值的虚部确实等于零。

在 LaTeX 中打印，根的精确值为：

请注意，有些词根比其他词根 "longer"，即它们需要更多的符号。但是，它们完全。使用floating-point算术，所有根具有相同的"size"，但它们是近似值。

特征多项式的根和特征值不相同

The roots of the characteristic polynomial and the eigenvalues are not the same

matlab

matrix

symbolic-math

eigenvalue

polynomials