两个近似 GPS 坐标之间的最小距离
Minimum distance between two approximate GPS coordinates
我有两对纬度和经度，但每对也有关联的半径，因为坐标可能或多或少准确。 如何求地球上两个圆形区域之间的最小距离？
- .NET 代码 here 计算两个精确地理坐标之间的距离，但不考虑关联的半径。
例子
这两个圆的周长之间的最短距离是多少？一个在英国伦敦，另一个在墨西哥坎昆？
另外，这两个重叠区域之间的距离应该是0米：
一个简单而令人愉快的近似方法是求圆心之间的距离，然后从中减去每个圆的半径。如果结果为负，则圆圈重叠且最小距离为 0；否则最小距离就是结果。这将在飞机上给出准确答案。
实际上，除了一些涉及几乎对映点的奇怪情况外，我认为这也会在椭球体上给出正确答案。因为（奇数情况除外）如果中心（比如 A 和 B）相距 d，则将存在从 A 到 B 的长度为 d 的测地线。如果我们沿着测地线向 B 移动距离 r（关于 A 的圆的半径），我们将到达圆上的点 a，类似地（从 B 到 A 的距离 s）我们到达圆上的点 b绕B圆。从A到B的测地线也是从a到b的测地线，沿它的距离为d-r-s。所以从a到b的距离是d-r-s。在比那更近的圆上不可能有点（比如 a',b'），因为如果有的话，我们可以通过从 A 到 a'，沿着从 a' 到 b' 的测地线从 A 到 B，并且然后从B到b；但是从A到B的测地线是最短路线。
假设这两个区域是 "close enough" 所以可以忽略问题的球形性质，以及 ...
假设那些 "confidence regions" 对结果的用户在某种程度上很重要，连同...
事实上，单个数字作为结果会消除信息的不确定性（或测量误差），我建议不要指望一个数字，而是一个区间是足够的结果。
设 p1、p2 为区域 R1、R2 的两个 "close enough" 中心。
设u1、u2为与p1、p2测量相同距离单位的位置的不确定性，作为这些圆的半径。
中心距：
直流 p1 p2 = |p2-p1|
最小边界距离：
bdmin p1 p2 u1 u2 = (dc p1 p2) - u1 - u2
边界距离最大值：
bdmax p1 p2 u1 u2 = (dc p1 p2) + u1 + u2
那么，这些区域之间的距离就是区间：
[bdmin p1 p2 u1 u2, bdmax p1 p2 u1 u2]
let sq x = x*x
let distance p1 p2 : float =
let x1,y1 = p1
let x2,y2 = p2
sqrt(sq (x2-x1) + sq (y2-y1))
let rdistance p1 u1 p2 u2 =
( (distance p1 p2) - u1 - u2
, (distance p1 p2) + u1 + u2
)
let rdistance3 p1 u1 p2 u2 =
let mi,ma = rdistance p1 u1 p2 u2
(mi,distance p1 p2,ma)
let P1 = (0.0,0.0)
let P2 = (10.0,10.0)
let U1 = 2.0
let U2 = 5.0
printfn "as interval: %A" (rdistance P1 U1 P2 U2)
printfn "as interval with center: %A" (rdistance3 P1 U1 P2 U2)
as interval: (7.142135624, 21.14213562)
as interval with center: (7.142135624, 14.14213562, 21.14213562)
后一个版本很好，因为它允许用户随心所欲地继续操作，拥有所有 3 个值，还能够感受准确性。
讨论：
如果真实数据看起来像图片上的数据，那么采用球面几何公式进行计算是没有意义的。原因是，圆圈的大小比欧几里德几何产生的误差大很多。
另一方面，如果真实数据的距离非常远，则采用圆心或圆的边缘进行计算可能无关紧要。因为与距离相比，圆的半径会很小。然后，虽然，球面几何是需要的。
最后一点，如果这只是一系列较长计算中的一个步骤，保持准确性信息是值得的。
例如 wikipedia article on interval arithmetic.
如果您将 U1、U2 视为统计参数，例如 n% 置信区域（想想标准偏差之类的东西），那么您可以尝试找到一个统计模型并对其进行推理。
热身，如果我们假设 P1 和 P2 都是来自相同统计分布的测量点，但显然不是。那么，两个点的方差将是相同的。显然不是这样。然后，给定一系列 P1、P2 对，您可以估计基础分布并使用类似 t 检验的方法来检验假设 P1 = P2。
现在，在 GPS 外行术语中，您可能拥有的 U1、U2 称为 "dilution of precision"（DOP，有些使用 2，实际上是 HDOP、VDOP），这是一个单一的数字，汇总了GPS定位计算。它是许多参数的函数，因为 GPS 接收器实际上可以注意到：
- 用于修复的可见和已用卫星数量
- 时间准确度估计
- 卫星表示的精度信息
- ...
比方说，GPS 接收器只能看到 3 颗卫星。它所做的是 "measure" 到每颗卫星的距离，该卫星位于 GPS 接收器已知的位置（卫星发送它们的位置）。因此，接收器可以从每颗卫星产生一个自己位置的球体，球体的半径是距离，中心是卫星的位置。
与为每颗使用的卫星计算的球体相交，可以接收到 GPS 接收器所在的体积。在没有任何测量错误等的情况下，它实际上是接收器的确切位置……在选择性可用性被关闭的情况下。 SA 是人造误差，卫星可以添加到它们的信息中，这会降低民用 GPS 接收器可以获得的精度。我认为它现在已经关闭了一段时间...
由于GPS接收器没有原子钟，但GPS卫星有原子钟，所以接收器的估计任务不仅是估计它的3个坐标，还有它自己的廉价时钟的状态。这就是为什么只有 3 颗卫星的 GPS 定位也称为 2D 定位（因为方程组仍未确定）。 4 颗或更多卫星产生 3D 定位。
除了其工作原理的基本理论之外，还有一些特定于 GPS 接收器位置的因素。除了接收器在给定位置可以使用的卫星数量之外，还可能存在 RF 频率反射等，这会使一个或多个卫星的 "distance computed by time delay" 出错。如果说 GPS 接收器看到 4 颗以上的卫星，它将能够解释，与其余测量值相比，某些测量值不一致。
然后将上面显示的所有这些方面计算为一个浮点数，命名为 "Dilution of precision"。
因此，很明显，要对假设 P1 <> P2 进行基本的统计检验并不容易，并且必须比此处以这种格式进行更深入的挖掘。
我有两对纬度和经度，但每对也有关联的半径，因为坐标可能或多或少准确。 如何求地球上两个圆形区域之间的最小距离？
- .NET 代码 here 计算两个精确地理坐标之间的距离，但不考虑关联的半径。
例子
这两个圆的周长之间的最短距离是多少？一个在英国伦敦，另一个在墨西哥坎昆？
另外，这两个重叠区域之间的距离应该是0米：
一个简单而令人愉快的近似方法是求圆心之间的距离，然后从中减去每个圆的半径。如果结果为负，则圆圈重叠且最小距离为 0；否则最小距离就是结果。这将在飞机上给出准确答案。
实际上，除了一些涉及几乎对映点的奇怪情况外，我认为这也会在椭球体上给出正确答案。因为（奇数情况除外）如果中心（比如 A 和 B）相距 d，则将存在从 A 到 B 的长度为 d 的测地线。如果我们沿着测地线向 B 移动距离 r（关于 A 的圆的半径），我们将到达圆上的点 a，类似地（从 B 到 A 的距离 s）我们到达圆上的点 b绕B圆。从A到B的测地线也是从a到b的测地线，沿它的距离为d-r-s。所以从a到b的距离是d-r-s。在比那更近的圆上不可能有点（比如 a',b'），因为如果有的话，我们可以通过从 A 到 a'，沿着从 a' 到 b' 的测地线从 A 到 B，并且然后从B到b；但是从A到B的测地线是最短路线。
假设这两个区域是 "close enough" 所以可以忽略问题的球形性质，以及 ...
假设那些 "confidence regions" 对结果的用户在某种程度上很重要，连同...
事实上，单个数字作为结果会消除信息的不确定性（或测量误差），我建议不要指望一个数字，而是一个区间是足够的结果。
设 p1、p2 为区域 R1、R2 的两个 "close enough" 中心。
设u1、u2为与p1、p2测量相同距离单位的位置的不确定性，作为这些圆的半径。
中心距：
直流 p1 p2 = |p2-p1|
最小边界距离：
bdmin p1 p2 u1 u2 = (dc p1 p2) - u1 - u2
边界距离最大值：
bdmax p1 p2 u1 u2 = (dc p1 p2) + u1 + u2
那么，这些区域之间的距离就是区间：
[bdmin p1 p2 u1 u2, bdmax p1 p2 u1 u2]
let sq x = x*x
let distance p1 p2 : float =
let x1,y1 = p1
let x2,y2 = p2
sqrt(sq (x2-x1) + sq (y2-y1))
let rdistance p1 u1 p2 u2 =
( (distance p1 p2) - u1 - u2
, (distance p1 p2) + u1 + u2
)
let rdistance3 p1 u1 p2 u2 =
let mi,ma = rdistance p1 u1 p2 u2
(mi,distance p1 p2,ma)
let P1 = (0.0,0.0)
let P2 = (10.0,10.0)
let U1 = 2.0
let U2 = 5.0
printfn "as interval: %A" (rdistance P1 U1 P2 U2)
printfn "as interval with center: %A" (rdistance3 P1 U1 P2 U2)
as interval: (7.142135624, 21.14213562)
as interval with center: (7.142135624, 14.14213562, 21.14213562)
后一个版本很好，因为它允许用户随心所欲地继续操作，拥有所有 3 个值，还能够感受准确性。
讨论：
如果真实数据看起来像图片上的数据，那么采用球面几何公式进行计算是没有意义的。原因是，圆圈的大小比欧几里德几何产生的误差大很多。
另一方面，如果真实数据的距离非常远，则采用圆心或圆的边缘进行计算可能无关紧要。因为与距离相比，圆的半径会很小。然后，虽然，球面几何是需要的。
最后一点，如果这只是一系列较长计算中的一个步骤，保持准确性信息是值得的。
例如 wikipedia article on interval arithmetic.
如果您将 U1、U2 视为统计参数，例如 n% 置信区域（想想标准偏差之类的东西），那么您可以尝试找到一个统计模型并对其进行推理。
热身，如果我们假设 P1 和 P2 都是来自相同统计分布的测量点，但显然不是。那么，两个点的方差将是相同的。显然不是这样。然后，给定一系列 P1、P2 对，您可以估计基础分布并使用类似 t 检验的方法来检验假设 P1 = P2。
现在，在 GPS 外行术语中，您可能拥有的 U1、U2 称为 "dilution of precision"（DOP，有些使用 2，实际上是 HDOP、VDOP），这是一个单一的数字，汇总了GPS定位计算。它是许多参数的函数，因为 GPS 接收器实际上可以注意到：
- 用于修复的可见和已用卫星数量
- 时间准确度估计
- 卫星表示的精度信息
- ...
比方说，GPS 接收器只能看到 3 颗卫星。它所做的是 "measure" 到每颗卫星的距离，该卫星位于 GPS 接收器已知的位置（卫星发送它们的位置）。因此，接收器可以从每颗卫星产生一个自己位置的球体，球体的半径是距离，中心是卫星的位置。
与为每颗使用的卫星计算的球体相交，可以接收到 GPS 接收器所在的体积。在没有任何测量错误等的情况下，它实际上是接收器的确切位置……在选择性可用性被关闭的情况下。 SA 是人造误差，卫星可以添加到它们的信息中，这会降低民用 GPS 接收器可以获得的精度。我认为它现在已经关闭了一段时间...
由于GPS接收器没有原子钟，但GPS卫星有原子钟，所以接收器的估计任务不仅是估计它的3个坐标，还有它自己的廉价时钟的状态。这就是为什么只有 3 颗卫星的 GPS 定位也称为 2D 定位（因为方程组仍未确定）。 4 颗或更多卫星产生 3D 定位。
除了其工作原理的基本理论之外，还有一些特定于 GPS 接收器位置的因素。除了接收器在给定位置可以使用的卫星数量之外，还可能存在 RF 频率反射等，这会使一个或多个卫星的 "distance computed by time delay" 出错。如果说 GPS 接收器看到 4 颗以上的卫星，它将能够解释，与其余测量值相比，某些测量值不一致。
然后将上面显示的所有这些方面计算为一个浮点数，命名为 "Dilution of precision"。
因此，很明显，要对假设 P1 <> P2 进行基本的统计检验并不容易，并且必须比此处以这种格式进行更深入的挖掘。