无法理解余弦相似度的 python 函数

Question

我正在通过 blog 中的示例来了解推荐中使用的协同过滤方法 system.I 遇到表示为

的余弦相似度

在 python 中使用 numpy 写成

def similarity(ratings, kind='user', epslion=1e-9):
      if kind == 'user' :
         sim = ratings.dot(ratings.T)
      elif (kind=='item'):
          sim = ratings.T.dot(ratings) + epslion
      norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])

      return  (sim / norms / norms.T )

Questions

代码中范数计算背后的数学原理是什么
等式

(sim / norms / norms.T )

sim(u,u`)

提前感谢您抽出宝贵时间 - 如果我漏掉了任何内容，过分强调或低估了某个特定点，请在评论中告诉我。

Answer 1

评分存储在 numpy 矩阵 ratings 中，其中行对应于用户（索引 u），而列对应于项目（索引 i）。由于要计算sim(u, u')，即用户之间的相似度，下面假设kind = 'user'。

现在，让我们先看看没有平方根比例因子的 r_{ui}r_{u'i}。该表达式在 i 上求和，可以解释为 r 与 r 的转置的矩阵乘法，即：

\sum_i r_{ui}r_{u'i} = \sum_i r_{ui}(r^T)_{iu'} =: s_{uu'}

正如上面所做的那样，让我们将结果矩阵表示为 s（代码中的变量 sim）。该矩阵根据定义是对称的，其 rows/columns 标有 "user" 索引 u/u'.

现在，缩放"factor" f_{u} := \sqrt\sum_i r^2_{ui}实际上是一个用u索引的向量（其中的每一项都是矩阵相应行的欧几里德范数r).然而，构造了 s_{uu'}，我们可以看到 f_{u} 就是 \sqrt s_{uu}.

最后，感兴趣的相似度是s_{uu'}/f{u}/f{u'}。 posted 代码为所有索引 u/u' 和 returns 计算结果作为矩阵。为此，它：

计算sim（上面的矩阵s）为ratings.dot(ratings.T)
得到其对角线的平方根（上面的向量f）为np.sqrt(np.diagonal(sim))
以有效的方式对 s 进行 row/column 缩放，然后将其表示为二维数组 norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])（注意缺少的 []你的 post)
最后，矩阵s_{uu'}/f{u}/f{u'}被计算为sim / norms / norms.T。这里，由于 norms 的形状为 (1, num_of_users)，第一个除法进行列缩放，而 norms.T 的除法则对行进行缩放。

无法理解余弦相似度的 python 函数

Not able to understand python function of cosine similarity

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