IEEE754：除法结果保证

Question

考虑：

x 是一个正整数，最大值不太可能超过 10,000,000。

y是一个>=0的小整数，最大值约为5；如有必要，我可以设置上限。

计算

z 然后四舍五入到最接近的整数，中间的情况向上四舍五入。我对数字正确答案向上舍入的情况感兴趣，但双精度 754 给出 'wrong' 答案，然后向下舍入。因此，换句话说，数值正确的结果有小数部分 >=0.5，但实际结果的小数部分 <0.5.

我使用的语言不允许我访问 FPU 设置，所以我只能使用默认设置（主要是 x86_64、Linux 和 Windows）。

我是否只需要接受某些答案将是 'wrong'，或者我是否可以对 x 和 y[=31 设置一些限制=] 哪些可以保证给出所需的答案？还是有一种替代计算方法可以在四舍五入后给出正确答案？如有必要，我还可以更改 z 舍入方式的定义，前提是我确实可以保证结果。

Answer 1

假设：

• x ≤ 10,000,000.
• 0 ≤ y ≤ 5.
• 使用 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点数，四舍五入到偶数。

那么除法的结果永远不是小数部分小于 ½ 而是四舍五入到 ½ 的数字。

当 x = 10,000,000 且 y = 0 时出现最大结果，在这种情况下 z = 10,000,000。那么 z 的整数部分有 24 位。浮点格式的有效位有 53 位，因此小数部分仍有 29 位可用。这意味着任何小于 ½ − 2⁻³⁰ 的小数部分都将四舍五入为 ½ − 2⁻²⁹ 或更少（因为可用于分数能够做出很好的区分——如果数学结果小于 ½ − 2⁻³⁰，则有一个比 ½ 更接近它的可表示值，因此使用较低的值).

因此，只有分数在 [½ − 2⁻³⁰, ½) 中的精确数学结果可能小于 ½，但四舍五入为 ½。令 z 是这样一个值，令 t 是它的小数部分。

从问题的陈述中，我们知道z • 10^y是一个整数 (x)。因此 t • 10^y 是一个整数，即使 y小于5，t • 10⁵是一个整数。

因为 t 在 [½ − 2⁻³⁰, ½), t • 10⁵ 在 [(½ − 2⁻³⁰) • 10⁵, ½ • 10 ⁵) = [50,000 − 2⁻³⁰ • 10⁵, 50,000) = [50,000 - 0.0000931322574615478515625 , 50,000).

显然这个区间没有整数，所以不存在z