计算积分的有效方法？

Question

我知道如何使用蒙特卡洛计算积分，但我想知道是否可以使用梯形法则结合numpy提高效率得到相同的积分，我不确定哪个是最快还是后者可能？

例如积分 e**-x**2 > y 我可以使用这样的蒙特卡洛方法：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.random.rand(500000,2)
X[:,0] = X[:,0]*4-2
J = np.where(X[:,1] < np.exp(-X[:,0]**2))[0]
Xp = X[:2000]
Ip = [i for i in range(len(Xp)) if i in J]
Inp = [i for i in range(len(Xp)) if i not in J]
plt.plot(Xp[Ip,0],Xp[Ip,1], 'bd', Xp[Inp,0],Xp[Inp,1], 'rd')
plt.show()

这很容易计算:

print len(J) / 500000.0 * 4

给出：

1.767784

在这种情况下很容易，但是如果没有像 [a,b] , n 那样指定间隔，并且我想创建一个函数，那么我认为上面的方法并不是很有效，至少我是这样认为的.

所以，我的问题是，我能否在具有梯形规则的函数中集成一个连续函数，例如 cos(x)/x，确定间隔，例如 [a,b]？

它比我在这里使用的方法更好吗？

欢迎大家提出建议。

Answer 1

只需使用scipy.integrate.quad:

from scipy import integrate
from np import inf
from math import exp, sqrt, pi

res, errEstimate = integrate.quad(lambda x: exp(-x**2), -inf, +inf)

print(res)       #output: 1.7724538509055159
print(sqrt(pi))  #output: 1.7724538509055159

最后一行简单地检查评估的积分确实是 Pi 的平方根（它是 Gaussian integral）。

Answer 2

你也可以使用黎曼近似。下面的代码在 Java

package math;

import java.util.Optional;
import java.util.function.*;
import java.util.stream.IntStream;
import static java.lang.Math.*;

public class IntegralJava8
{
    public interface Riemann extends BiFunction<Function<Double, Double>, Integer, 
    BinaryOperator<Double>> { }

    public static void main(String args[])
    {
        int N=100000;
        Riemann s = (f, n) -> (a, b) -> 
        IntStream.range(0, n)
        .mapToDouble(i -> f.apply(a + i * ((b - a) / n)) * ((b - a) / n)).sum();
        Optional<Double> gaussIntegral = 
            Optional.of(s.apply(x -> exp(-pow(x, 2)), N).apply(-1000.0, 1000.0));
        gaussIntegral.ifPresent(System.out::println);
    }
}

在上面class中，它会计算从-infinity到infinity的高斯积分等于PI的平方根(1.772)

计算积分的有效方法？

Efficient way for calculating integrals?

python

numpy

integral

python-2.7