为什么使用 Math.pow 的代码会打印出 "HELLO WORLD"？

Question

我发现了以下代码。我知道，它看起来 weird/exciting 比 this one using seemingly random numbers, but it seems to be more complex than this one 对大数使用位移：

long[] c = {130636800L, -5080148640L, 13802573088L, -14974335980L, 8683908340L,
           -3006955245L, 651448014L, -89047770L, 7457160L, -349165L, 6998L};

for (int x = 0; x < 11; x++) {
    long s = 0;
    for (int i = 0; i < 11; i++)
        s += c[i] * Math.pow(x, i);

    System.out.print((char)(s / 1814400));
}

Code on Ideone

输出：

HELLO WORLD

它是如何工作的？它是某种形式的加密还是有人疯狂地构建它？

Answer 1

让我们开始一些数学运算：

求解下面的方程式，你就会得到答案。这些方程只有一个解，因为方程的数量等于未知变量的数量。

设c[0] = 72，即'H'的ASCII值。

为清楚起见：我使用 ^ 表示符合惯例。现在解决：

1^0 * c[0] + 1^1 * c[1] + 1^2 * c[2] + 1^3 * c[3] + 1^4 * c[4] + 1^5 * c[5] + 1^6 * c[6] + 1^7 * c[7] + 1^8 * c[8] + 1^9 * c[9] + 1^10 * c[10] = 69
2^0 * c[0] + 2^1 * c[1] + 2^2 * c[2] + 2^3 * c[3] + 2^4 * c[4] + 2^5 * c[5] + 2^6 * c[6] + 2^7 * c[7] + 2^8 * c[8] + 2^9 * c[9] + 2^10 * c[10] = 76
3^0 * c[0] + 3^1 * c[1] + 3^2 * c[2] + 3^3 * c[3] + 3^4 * c[4] + 3^5 * c[5] + 3^6 * c[6] + 3^7 * c[7] + 3^8 * c[8] + 3^9 * c[9] + 3^10 * c[10] = 76
4^0 * c[0] + 4^1 * c[1] + 4^2 * c[2] + 4^3 * c[3] + 4^4 * c[4] + 4^5 * c[5] + 4^6 * c[6] + 4^7 * c[7] + 4^8 * c[8] + 4^9 * c[9] + 4^10 * c[10] = 79
5^0 * c[0] + 5^1 * c[1] + 5^2 * c[2] + 5^3 * c[3] + 5^4 * c[4] + 5^5 * c[5] + 5^6 * c[6] + 5^7 * c[7] + 5^8 * c[8] + 5^9 * c[9] + 5^10 * c[10] = 32
6^0 * c[0] + 6^1 * c[1] + 6^2 * c[2] + 6^3 * c[3] + 6^4 * c[4] + 6^5 * c[5] + 6^6 * c[6] + 6^7 * c[7] + 6^8 * c[8] + 6^9 * c[9] + 6^10 * c[10] = 87  
7^0 * c[0] + 7^1 * c[1] + 7^2 * c[2] + 7^3 * c[3] + 7^4 * c[4] + 7^5 * c[5] + 7^6 * c[6] + 7^7 * c[7] + 7^8 * c[8] + 7^9 * c[9] + 7^10 * c[10] = 79  
8^0 * c[0] + 8^1 * c[1] + 8^2 * c[2] + 8^3 * c[3] + 8^4 * c[4] + 8^5 * c[5] + 8^6 * c[6] + 8^7 * c[7] + 8^8 * c[8] + 8^9 * c[9] + 8^10 * c[10] = 82  
9^0 * c[0] + 9^1 * c[1] + 9^2 * c[2] + 9^3 * c[3] + 9^4 * c[4] + 9^5 * c[5] + 9^6 * c[6] + 9^7 * c[7] + 9^8 * c[8] + 9^9 * c[9] + 9^10 * c[10] = 76
10^0 * c[0] + 10^1 * c[1] + 10^2 * c[2] + 10^3 * c[3] + 10^4 * c[4] + 10^5 * c[5] + 10^6 * c[6] + 10^7 * c[7] + 10^8 * c[8] + 10^9 * c[9] + 10^10 * c[10] = 68

注意未知数的个数是c[1]到c[10]，所以是10个。我们知道c[0] = 72，所以不是未知数，方程的个数是10个。

现在我们只需将所有数字乘以 1814400，在答案中除以相同值，所以它不会改变任何东西，或者通过求解方程式找到的答案可能不是整数，所以乘以 1814400 得到整数。

您可以使用 this code for solving simultaneous equations of any order.

求解这些方程式

Answer 2

受到的启发，我找到了另一种逆向计算的方法。代码的内部循环（包括输出行的除法）基本上表示以下多项式：

此多项式是针对代码外循环中的值 0 到 10 计算的，并生成生成的 ASCII 字符。所以问题是：如何适应 polynomial through given consecutive data points?

这里是 xi = i 的 my search results points to the term Newton polynomial. This is a so-called interpolation polynomial for a given set of data points. As the polynomial is calculated for the values 0 to 10, we have the special case 之一。因此，为了构造上述多项式，我们必须计算一些二项式系数。

首先我们要计算数据点上的divided differences（即ASCII编码函数输出）：

 0: H = <b>72</b>
 1: E = 69  <b>-3</b>
 2: L = 76   7  <b>10</b>
 3: L = 76   0  -7  <b>-17</b>
 4: O = 79   3   3   10   <b>27</b>
 5:   = 32 -47 -50  -53  -63  <b>-90</b>
 6: W = 87  55 102  152  205  268   <b>358</b>
 7: O = 79  -8 -63 -165 -317 -522  -790 <b>-1148</b>
 8: R = 82   3  11   74  239  556  1078  1868  <b>3016</b>
 9: L = 76  -6  -9  -20  -94 -333  -889 -1967 -3835 <b>-6851</b>
10: D = 68  -8  -2   7    27  121   454  1343  3310  7145 <b>13996</b>

然后，每列最上面的条目是我们构建插值多项式所需的系数：

72
-     3 /       1 x
+    10 /       2 x(x-1)
-    17 /       6 x(x-1)(x-2)
+    27 /      24 x(x-1)(x-2)(x-3)
-    90 /     120 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
+   358 /     720 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
-  1148 /    5040 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
+  3016 /   40320 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
-  6851 /  362880 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)
+ 13996 / 3628800 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)

这里，分母代表n! (see the special case)。通过扩展此公式（例如通过使用 WolframAlpha），您将得到如上所示的多项式。如果有人想知道，多项式如下所示：

为什么使用 Math.pow 的代码会打印出 "HELLO WORLD"？

Why does this code using Math.pow print "HELLO WORLD"?

java

string

pow