给我解释一下

Question

深入研究 Haskell，当我享受这种语言时，我发现 pointfree 风格完全难以辨认。我遇到了一个只包含这些 ASCII boobies 的函数，如下所示。

f = (.)(.)

虽然我理解它的类型签名和它的作用，但我终究无法理解它为什么这样做。那么有人可以为我写出它的 de-pointfreed 版本，并且可能会像这样逐步回到 pointfree 版本：

f g x y = (g x) + y   
f g x = (+) (g x)    
f g = (+) . g    
f = (.) (+)

Answer 1

通常 (?)（其中 ? 代表任意中缀运算符）与 \x y -> x ? y 相同。所以我们可以将f重写为：

f = (\a b -> a . b) (\c d -> c . d)

现在，如果我们将参数应用于函数，我们将得到：

f = (\b -> (\c d -> c . d) . b)

现在 b 只是 f 的参数，因此我们可以将其重写为：

f b = (\c d -> c . d) . b

.的定义是f . g = \x -> f (g x)。如果用它的定义替换外部 .，我们得到：

f b = \x -> (\c d -> c . d) (b x)

同样我们可以把x变成一个常规参数：

f b x = (\c d -> c . d) (b x)

现在让我们替换另一个.:

f b x = (\c d y -> c (d y)) (b x)

现在让我们应用参数：

f b x = \d y -> (b x) (d y)

现在让我们再次移动参数：

f b x d y = (b x) (d y)

完成。

Answer 2

我们可以通过"pattern matching"对组合器的定义进行倒推。鉴于

f a b c d =  a b  (c d) 
          = (a b) (c d)

我们继续

         = B (a b) c d 
         = B B a b c d    -- writing B for (.)

所以 eta-contraction

f = B B

因为

a (b c) = B a b c         -- bidirectional equation

根据定义。 Haskell 的 (.) 实际上是 B 组合子（参见 BCKW combinators）。

edit: 许多组合器可能会匹配相同的代码。这就是为什么同一段代码有许多可能的组合编码。例如，(ab)(cd) = (ab)(I(cd)) 是一个有效的转换，它可能会导致一些其他组合子定义匹配 that。选择 "most appropriate" 一个是一门艺术（或者在搜索 space 中搜索具有较高的分支因子）。

这就是向后，正如你所问的那样。但是，如果您想使用 "forward"，就个人而言，我更喜欢组合方法，而不是坐立不安的 lambda 表示法。我什至会直接写很多参数，最后去掉多余的：

BBabcdefg = B(ab)cdefg = (ab)(cd)efg

因此，

BBabcd    = B(ab)cd    = (ab)(cd)

仅此而已。

Answer 3

您也可以逐渐将参数附加到 f:

f = ((.) . )
f x = (.) . x
f x y = ((.) . x) y
      = (.) (x y)
      = ((x y) . )
f x y z = (x y) . z
f x y z t = ((x y) . z) t
          = (x y) (z t)
          = x y (z t)
          = x y $ z t

结果表明 x 和 z 实际上是（分别是二元函数和一元函数），所以我将使用不同的标识符：

f g x h y = g x (h y)

给我解释一下

Explain (.)(.) to me

haskell

pointfree