为什么我的离散时间傅里叶变换不正确？

Question

我创建了一个代码来尝试计算函数的 DTFT。

这是我的代码：

figure
n = linspace(0,2*pi,1500); %example
x = cos(n); %example
l = length(n);
syms k w
Xk = sum(x(1:l).*exp((-1i.*k.*2/l.*pi.*(0:l-1))));
Xk = matlabFunction(Xk);
d = linspace(-5,5,1000);
stem(d,Xk(d))

为了检查我的代码，如您所见，我尝试通过对其进行采样并将其与 cos(x) 的连续时间傅里叶变换进行比较来计算 cos(n) 的离散时间傅里叶变换, 但不幸的是我没有得到相同的结果。

这是我通过运行这段代码得到的：

当我增加 n 时，虽然 -1,1 中的值像我们预期的那样增加，但非零值也在增加相反符合预期。

(cos(x)的傅立叶变换为deltaFunction(x-1)+deltaFunction(x+1))

感谢您的帮助。我知道 MATLAB 中有这样做的函数，但我尝试自己创建一个。

Answer 1

您看到的是使用 k.

的非整数值的结果

DTFT:

DTFT 假定输入信号为无穷大。你没有这个，你只有一个余弦周期。假设信号的其余部分全为零，您在 t=0 和 t=2π 时从 1 到 0 的过渡中引入了许多高频。您还引入了一些较低的频率。这些频率是您在绘图中看到的频率。

如果你想计算cos(t)的DTFT，t不限于一个周期，那么你的计算中需要一个无穷大的和，你当然不能这样做。

如果您想假设信号是周期性的，那么您就是在计算 DFT。

DFT：

您有一系列样本，您在转换中定义为 n = 0:l-1，l 在 equation as shown on Wikipedia 中采用 N 的函数：

在这个等式中，n和k都是整数。 k 通常也在 0:l-1 范围内定义，但由于它是周期性的，因此可以将其定义在 -ceil(l/2):ceil(l/2)-1 范围内，例如

在您的代码中将 d 设置为一组整数值，我看到了预期的结果：

d = -10:10;
stem(d,abs(Xk(d)))

Answer 2

首先，您显示的结果对于余弦 window 在 0 和 2π 之间的 DTFT 是正确的。我感觉您对计算从 -∞ 到 +∞ 的余弦的 DFT 很感兴趣，已经证明了这一点。

我认为简要讨论一下余弦的傅里叶变换、windowed 余弦和 DTFT 会很有用。

余弦的傅里叶变换是

其中余弦定义为t = -∞到+∞，可以通过DFT计算。但是 windowed 余弦

的傅里叶变换

是

其中 N 是 window（上面的 1）的周期数。在 MATLAB 中绘制此图会产生

所以，在 MATLAB 中，如果你想计算余弦的 DTFT，你的输入应该是从 t = -∞ 到 +∞ 的采样余弦，你的结果应该类似于

因为 DTFT 是周期性的，周期为 2π 而 DFT 不是。余弦的 DTFT 是

为什么我的离散时间傅里叶变换不正确？

Why is my discrete time Fourier transform incorrect?

matlab

fft

dft