如何在 MATLAB 中求解只有一个分量的线性系统

Question

我需要求解线性系统

A x = b

可以通过

有效地完成

x = A \ b

但现在 A 非常大，我实际上只需要一个组件，比如 x(1)。有没有比计算 x 的所有组件更有效地解决这个问题的方法？

A不疏。在这里，效率实际上是一个问题，因为这是为许多 b.

完成的

此外，存储 K 的倒数并仅将其第一行乘以 b 是不可能的，因为 K 的条件很差。在这种情况下，使用 \ 运算符会使用 LDL 求解器，并且在显式使用逆函数时会失去准确性。

Answer 1

我不认为你在技术上会比非常优化的 Matlab 例程得到加速，但是如果你了解它是如何求解的，那么你可以只求解 x 的一部分。例如，传统求解器中的 following. 您使用 backsub 进行 QR 求解。在 LU solve 中，您同时使用 back sub 和 front sub。我可以得到LU。不幸的是，由于它的解决方式，它实际上是从最后开始的。对于将同时使用两者的 LDL 也是如此。这并不排除可能有更有效的方法来解决您所拥有的问题。

 function [Q,R] = qrcgs(A)
%Classical Gram Schmidt for an m x n matrix 

[m,n] = size(A); 
% Generates the Q, R matrices
Q = zeros(m,n); 
R = zeros(n,n);
    for k = 1:n
        % Assign the vector for normalization
        w = A(:,k);
        for j=1:k-1
            % Gets R entries
            R(j,k) = Q(:,j)'*w;
        end

        for j = 1:k-1
           % Subtracts off orthogonal projections 
           w = w-R(j,k)*Q(:,j);
        end
        % Normalize 
        R(k,k) = norm(w);
        Q(:,k) = w./R(k,k);
    end

end

function x = backsub(R,b)
% Backsub for upper triangular matrix.
[m,n] = size(R);
p = min(m,n);
x  = zeros(n,1);

    for i=p:-1:1
        % Look from bottom, assign to vector
        r = b(i);
        for j=(i+1):p
            % Subtract off the difference
            r = r-R(i,j)*x(j);
        end
        x(i) = r/R(i,i);
    end

end

Answer 2

方法mldivide，通常表示为\，接受一次解决许多具有相同A的系统。

x = A\[b1 b2 b3 b4] # where bi are vectors with n rows

求解每个 b 的系统，并将 return 一个 nx4 矩阵，其中每一列是每个 b 的解。像这样调用 mldivide 应该会提高效率，因为分解只进行一次。

在许多分解中，如 LU od LDL'（以及您特别感兴趣的分解），矩阵乘法 x 是上对角线，要求解的第一个值是 x(n)。但是，必须进行 LDL 分解，简单的向后替换算法不会成为代码的瓶颈。因此，可以省去分解，避免每bi重复计算一次。因此，代码看起来类似于：

[LA,DA] = ldl(A);
DA = sparse(DA);
% LA = sparse(LA); %LA can also be converted to sparse matrix
% loop over bi
  xi = LA'\(DA\(LA\bi));
% end loop

正如您在 mldivide (Algorithms section) 的文档中看到的那样，它对输入矩阵执行一些检查，并将 LA 定义为满矩阵，将 DA 定义为稀疏矩阵，它应该直接用于三角求解器和三对角求解器。如果 LA 转换为稀疏，它也会使用三角求解器，我不知道转换为稀疏是否代表任何改进。

如何在 MATLAB 中求解只有一个分量的线性系统

How to solve a linear system for only one component in MATLAB

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