什么是惩罚幅度和符号差异的良好损失函数

Question

我处于需要训练模型来预测标量值的情况，重要的是要使预测值与真实值方向相同，同时误差平方和最小。

为此选择什么损失函数比较好？

例如：

假设预测值为-1，真实值为1。两者之间的损失应该比3和1之间的损失大很多，即使(3, 1)和的平方误差(-1, 1) 相等。

非常感谢！

Answer 1

事实证明这是一个非常有趣的问题 - 感谢您提出这个问题！首先，请记住您希望损失函数完全由微分运算定义，这样您就可以通过它进行反向传播。这意味着任何旧的任意逻辑都不一定能做到。重述您的问题：您想找到两个变量的可微函数，当两个变量取不同符号的值时该函数会急剧增加，而当它们具有相同的符号时会更慢。此外，您需要对如何这些值相对于彼此急剧增加进行一些控制。因此，我们需要具有两个可配置常量的东西。我开始构建一个满足这些需求的函数，但后来想起了一个可以在任何高中几何教科书中找到的函数：elliptic paraboloid!

标准公式不符合符号协议对称性的要求，所以我不得不引入一个rotation。上图就是结果。请注意，当符号不一致时它会急剧增加，而当它们不一致时则不会急剧增加，并且控制此行为的输入常量是可配置的。下面的代码是定义和绘制损失函数所需的全部代码。我认为我以前从未使用过几何形式作为损失函数 - 非常简洁。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm


def elliptic_paraboloid_loss(x, y, c_diff_sign, c_same_sign):

    # Compute a rotated elliptic parabaloid.
    t = np.pi / 4

    x_rot = (x * np.cos(t)) + (y * np.sin(t))

    y_rot = (x * -np.sin(t)) + (y * np.cos(t))

    z = ((x_rot**2) / c_diff_sign) + ((y_rot**2) / c_same_sign)

    return(z)


c_diff_sign = 4

c_same_sign = 2

a = np.arange(-5, 5, 0.1)

b = np.arange(-5, 5, 0.1)

loss_map = np.zeros((len(a), len(b)))

for i, a_i in enumerate(a):

    for j, b_j in enumerate(b):

        loss_map[i, j] = elliptic_paraboloid_loss(a_i, b_j, c_diff_sign, c_same_sign)



fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
X, Y = np.meshgrid(a, b)
surf = ax.plot_surface(X, Y, loss_map, cmap=cm.coolwarm,
                       linewidth=0, antialiased=False)

plt.show()

Answer 2

据我了解，您当前的损失函数类似于：

loss = mean_square_error(y, y_pred)

您可以做的是在您的损失中添加另一个成分，因为这是一个惩罚负数而不对正数做任何事情的成分。你可以选择一个系数来表示你想要惩罚它的程度。为此，我们可以使用负形 ReLU。像这样：

让我们调用这个组件的“Neg_ReLU”。那么，你的损失函数将是：

loss = mean_squared_error(y, y_pred) + Neg_ReLU(y_pred)

例如，如果您的结果是 -1，则总误差为：

mean_squared_error(1, -1) + 1

如果您的结果是 3，则总误差为：

mean_squared_error(1, -1) + 0

(在上面的函数中看到 Neg_ReLU(3) = 0, and Neg_ReLU(-1) = 1.

如果你想惩罚更多的负值，那么你可以添加一个系数：

coeff_negative_value = 2

loss = mean_squared_error(y, y_pred) + coeff_negative_value * Neg_ReLU

现在负值受到更多惩罚。

我们可以这样构建 ReLU 负函数：

tf.nn.relu(tf.math.negative(value))

所以总结一下，最后你的总损失是：

coeff = 1

Neg_ReLU = tf.nn.relu(tf.math.negative(y))

total_loss = mean_squared_error(y, y_pred) + coeff * Neg_ReLU

什么是惩罚幅度和符号差异的良好损失函数

What would be a good loss function to penalize the magnitude and sign difference

machine-learning

loss-function