Matlab 中矢量定义的叉积应用矩阵和矢量化

Question

我运行进入了一个我似乎无法通过矢量化实现的操作。

假设我想找到

定义的应用程序矩阵

h: X -> cross(V,X)

其中 V 是预定向量（X 和 V 都是 3×1 向量）。

在 Matlab 中，我会做类似的事情

M= cross(repmat(V,1,3),eye(3,3))

得到这个矩阵。例如，V=[1;2;3] 产生

M =

 0    -3     2
 3     0    -1
-2     1     0

现在假设我有一个 3×N 矩阵

V=[V_1,V_2...V_N]

每列都定义了自己的叉积运算。对于 N=2，这是一个天真的尝试来找到 V 的列定义的两个叉积矩阵

 V=[1,2,3;4,5,6]'
M=cross(repmat(V,1,3),repmat(eye(3,3),1,2))

结果

V =

     1     4
     2     5
     3     6


M =

     0    -6     2     0    -3     5
     3     0    -1     6     0    -4
    -2     4     0    -5     1     0

在我期待的时候

M =

 0    -3     2     0    -6     5
 3     0    -1     6     0    -4
-2     1     0    -5     4     0

2 列被反转。

有没有不用 for 循环实现的方法？

谢谢！

Answer 1

首先，确保在处理矩阵时非常仔细地阅读 cross 的文档：

它说：

C = cross(A,B,DIM), where A and B are N-D arrays, returns the cross
product of vectors in the dimension DIM of A and B. A and B must
have the same size, and both SIZE(A,DIM) and SIZE(B,DIM) must be 3.

请记住，如果您不指定 DIM，它会自动假定为 1，因此您是在按列操作。在第一种情况下，您将输入 A 和 B 都指定为 3 x 3 矩阵。因此，由于 DIM=1 的假设，输出将是每个列独立的叉积。因此，您期望输出的第 i 列包含 A 的第 i 列和 B 的第 i 列的叉积，行数预计为为 3，并且列数需要在 A 和 B 之间匹配。

您得到了您期望的结果，因为第一个输入 A 已 [1;2;3] 在列上正确复制了三次。从您的第二段代码中，您对 V 作为第一个输入 (A) 的期望如下所示：

V =

     1     1     1     4     4     4
     2     2     2     5     5     5
     3     3     3     6     6     6

但是，当您执行 repmat 时，您实际上是在每列之间交替。事实上，您得到的是：

V = 

     1     4     1     4     1     4
     2     5     2     5     2     5
     3     6     3     6     3     6

repmat 将矩阵平铺在一起并且您指定要水平平铺 V 三次。这显然是不正确的。这解释了为什么交换列，因为 V 的第二、第四和第六列实际上应该出现在最后三列。因此，输入列的顺序是输出出现交换的原因。

因此，您需要重新排序 V，使前三个向量为 [1;2;3]，接下来的三个向量为 [4;5;6]。因此，您可以先生成原始 V 矩阵，然后创建一个新矩阵，使奇数列在一组三列中排在第一位，然后是偶数列在一组三列之后：

>> V = [1,2,3;4,5,6].';
>> V = V(:, [1 1 1 2 2 2])

V =

     1     1     1     4     4     4
     2     2     2     5     5     5
     3     3     3     6     6     6

现在使用 V 和 cross 并保持相同的第二个输入：

>> M = cross(V, repmat(eye(3), 1, 2))

M =

     0    -3     2     0    -6     5
     3     0    -1     6     0    -4
    -2     1     0    -5     4     0

我觉得不错！

Matlab 中矢量定义的叉积应用矩阵和矢量化

Vector-defined cross product application matrix and vectorization in Matlab

matlab

vector

matrix

vectorization

cross-product