可以用 2x1x1 块的 2x2 底座构建 2^n 高的塔
Possibilities to construct 2^n height tower with 2x2 base of 2x1x1 blocks
建造 2x1x1 块的 2^n 塔（底面积为 2x2）有多少种可能性？到目前为止，这必须是一种分而治之的算法。我想出了 O(2^n)，但我想在多项式时间内解决这个问题。
我的主要问题是弄清楚“征服”部分。
有人可以告诉我如何在多项式时间内解决这个问题吗？
Example
设 F(n) 是从平坦的底座建造高度为 n 的塔的方法数，S(n) 是从底座建造高度为 n 的塔的方法数，其中一半是填写.
则F(n) = 2F(n-1) + 4S(n-1), S(n) = F(n-1) + S(n-1).
那是因为如果您从平底开始，有两种方法可以完全填充底层而没有任何小块粘起，还有 4 种方法可以将一块放平，两块粘在上面。类似地，如果你有一个半填充的底座，你可以通过添加一个躺着的块来完成这一层，或者添加两个更多的粘贴块，其中一半填充上面的层。
然后，您可以将其表示为矩阵向量乘法（在 ASCII 艺术中）：
F(n) = (2 4) (F(n-1))
S(n) = (1 1) (S(n-1))
等等：
F(n) = (2 4)^n (F(0))
S(n) = (1 1) (S(0))
由于 F(0) = 1 且 S(0) = 0，您有：
F(n) = (2 4)^n (1)
S(n) = (1 1) (0)
您可以使用平方求幂在 O(log n) 时间内计算矩阵幂。这为您提供了一个 O(n) 算法，用于查找构建 2^n 高塔的方法。
另一种（分而治之）方法是计算建造高度为 2^n 的塔的方法，其中底层是完整的或垂直的半填充，或水平的半填充。然后，您可以通过计算将 9 个不同的半塔中的两个组合在一起的方式，每次将问题减半。虽然计算起来更复杂，但仍然是 O(n)，因为您不能使用矩阵幂技巧，因为会出现一些平方项。
建造 2x1x1 块的 2^n 塔（底面积为 2x2）有多少种可能性？到目前为止，这必须是一种分而治之的算法。我想出了 O(2^n)，但我想在多项式时间内解决这个问题。
我的主要问题是弄清楚“征服”部分。
有人可以告诉我如何在多项式时间内解决这个问题吗？
Example
设 F(n) 是从平坦的底座建造高度为 n 的塔的方法数，S(n) 是从底座建造高度为 n 的塔的方法数，其中一半是填写.
则F(n) = 2F(n-1) + 4S(n-1), S(n) = F(n-1) + S(n-1).
那是因为如果您从平底开始，有两种方法可以完全填充底层而没有任何小块粘起，还有 4 种方法可以将一块放平，两块粘在上面。类似地，如果你有一个半填充的底座，你可以通过添加一个躺着的块来完成这一层，或者添加两个更多的粘贴块，其中一半填充上面的层。
然后，您可以将其表示为矩阵向量乘法（在 ASCII 艺术中）：
F(n) = (2 4) (F(n-1))
S(n) = (1 1) (S(n-1))
等等：
F(n) = (2 4)^n (F(0))
S(n) = (1 1) (S(0))
由于 F(0) = 1 且 S(0) = 0，您有：
F(n) = (2 4)^n (1)
S(n) = (1 1) (0)
您可以使用平方求幂在 O(log n) 时间内计算矩阵幂。这为您提供了一个 O(n) 算法，用于查找构建 2^n 高塔的方法。
另一种（分而治之）方法是计算建造高度为 2^n 的塔的方法，其中底层是完整的或垂直的半填充，或水平的半填充。然后，您可以通过计算将 9 个不同的半塔中的两个组合在一起的方式，每次将问题减半。虽然计算起来更复杂，但仍然是 O(n)，因为您不能使用矩阵幂技巧，因为会出现一些平方项。