如何加速 NIntegrate 计算？

Question

我想画定积分

myIntegral[x_] := NIntegrate[Sqrt[(a - b)^2 + (c - d)^2]/ (a - b), {a, 0, x}, {b, x, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}]
Plot[myIntegral[x], {x, 0, 1}]

我正在使用 Mathematica 11.3。当我评估代码时，Mathematica 立即给出一些关于数值积分收敛太慢的警告，然后它似乎陷入了计算。我已经尝试了 NIntegrate 的一些选项，例如建议 here，但没有成功。有没有办法在可接受的时间内（例如几分钟）获得 Plot 的结果？

Answer 1

Integrate.

可以到达

Assuming[0<x<1,
 Simplify[
   Integrate[Sqrt[(a-b)^2 + (c-d)^2]/(a-b), {a,0,x}, {b,x,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]]]

这给了你

(-11*Sqrt[2] + 11*Sqrt[2+(-2+x)*x] + x*(-8-7*Sqrt[2+(-2+x)*x] + 13*Sqrt[1+x^2] +
 2*x*(6-3*Sqrt[2+(-2+x)*x] + x*(-4+2*x + Sqrt[2+(-2+x)*x] - Sqrt[1+x^2]))) +
 18*x^2*ArcCoth[Sqrt[2+(-2+x)*x]] + 9*ArcSinh[1] - 3*ArcSinh[1-x] - 3*ArcSinh[x] +
 6*Log[1-x] + 9*x*Log[-1+Sqrt[2+(-2+x)*x]] + 3*((-2+x)*Log[1+Sqrt[2+(-2+x)*x]] -
 4*x*Log[-(((-1+x)*(1 + Sqrt[1+x^2]))/x)] + x^3*(Log[2+x^2+2*Sqrt[1+x^2]] +
 2*Log[(1-x)/(x+x*Sqrt[2-2*x+x^2])])))/36

这应该比对个人进行数千次绘制要快得多 NIntegrate

如何加速 NIntegrate 计算？

How can I speed up NIntegrate computation?

plot

wolfram-mathematica

numerical-integration