是否可以证明 |a-b+b - a| <= ulp(a) 用于所有双精度浮点数？
Is it possible to proof |a-b+b - a| <= ulp(a) for all double floating-point numbers?
所以我想知道，如果|a|>=|b|，不等式|a-b+b-a|<=ulp(a)是否为真，如果为真，我如何证明不等式？ （评估顺序是从左到右，即 ((a-b)+b)-a )
我想证明，图中a,b是一条直线的两个端点，那么如果我知道b和a-b的值，我想证明我可以得到a的值 没有大于一个 ULP(a) 错误的错误。所以我可以给出条件 |a|>=|b|或|a|<=|b|，但我无法限制它们的实际值。
一些预赛：
我假设使用 IEEE-754 算法，使用二进制基数和四舍五入到最接近偶数。
我进一步假设所有操作数和运算结果都是有限的（既不是无穷大也不是 NaN）。 （如果可能出现无穷大或 NaN，则该命题为假。如果 a 和 b 的大小略小于最大可表示的有限值，但它们符号相反，则a−b是无穷大，所以a−b+b−a是无穷大，其大小超过了a的ULP。）
斜体表示数学变量，如a和b。代码格式表示计算的算术，例如 a+b，而 a+b 是精确的数学结果。
我假设 a 和 b 是可表示的，这意味着我们从 a 等于 a 且 b 等于 b，不以任意实数开头 a 且 b 首先转换为可表示值 a 和 b.
舍入到最接近偶数的最大误差是数学结果的 ½ ULP。这是真的，因为任何结果都取决于一个可表示的值或两个可表示的值之间。如果在两个值之间，则round-to-nearest选择较近的一个，到的距离最多为两者之间距离的一半。
对于“x的ULP”，我会写ULP(x)。如果 x 不是可表示值，则 ULP(x) 是小于 |x[ 的最大可表示值的 ULP =144=]|.
|a−b|至多为 2|a|，因为 |b| ≤ |a|。所以a−b中的误差最多为½ ULP(2|a|)，也就是1个ULP(a)。因此 a−b = a−b+e 对于一些舍入误差 e 与 |e| ≤ ULP(a).
现在考虑添加 a−b 和 b 的数学结果。数学结果为a−b + b = a−b+e + b = a+e。所以数学结果在 a 的 1 ULP 以内，包括在内。那它可以四舍五入到什么？
根据 ULP 的定义，下一个比 a 更大的可表示数是 a + ULP(a ).1 下一个较小的可表示数通常是 a − ULP(a), 但如果 a 正好是 a − ½ ULP(a) 2 的幂（因此它是二进制中的最小数字，下一个较低的数字具有较小的指数）。即使在这种情况下，在 a 也有另一个可表示的数字 - ULP(a).
因此数学结果a+e位于闭区间[a−ULP(a), a+ULP(a)], 由两个可表示的数字。令 x 为更接近 a+e 的端点，并假设 a+e 根据四舍五入规则四舍五入到 y。如果y在区间外，则a+e到的距离y 大于到 x 的距离，要么是因为 y 超出了 x在同一方向或因为 y 位于另一个方向，因此超出了另一个端点，至少与 a+e 因为 x 是，所以 y 更远。因此，a+e 舍入到端点之一或区间内的其他可表示数字。所以它四舍五入到 a 的一个 ULP 内的某个数字，包括在内。
因此a−b+b距离a.
至多1个ULP(a)
脚注
1 为了四舍五入的目的，如果x是最大的可表示有限值，x + ULP(x) 在舍入决定完成之前被视为可表示的。如果四舍五入导致 x + ULP(x) 被选中，则结果为 ∞。 （对于负值也是对称的。）
所以我想知道，如果|a|>=|b|，不等式|a-b+b-a|<=ulp(a)是否为真，如果为真，我如何证明不等式？ （评估顺序是从左到右，即 ((a-b)+b)-a )
我想证明，图中a,b是一条直线的两个端点，那么如果我知道b和a-b的值，我想证明我可以得到a的值 没有大于一个 ULP(a) 错误的错误。所以我可以给出条件 |a|>=|b|或|a|<=|b|，但我无法限制它们的实际值。
一些预赛：
我假设使用 IEEE-754 算法，使用二进制基数和四舍五入到最接近偶数。
我进一步假设所有操作数和运算结果都是有限的（既不是无穷大也不是 NaN）。 （如果可能出现无穷大或 NaN，则该命题为假。如果 a 和 b 的大小略小于最大可表示的有限值，但它们符号相反，则
a−b是无穷大，所以a−b+b−a是无穷大，其大小超过了a的ULP。）斜体表示数学变量，如a和b。代码格式表示计算的算术，例如
a+b，而 a+b 是精确的数学结果。我假设 a 和 b 是可表示的，这意味着我们从 a 等于
a且 b 等于b，不以任意实数开头 a 且 b 首先转换为可表示值a和b.舍入到最接近偶数的最大误差是数学结果的 ½ ULP。这是真的，因为任何结果都取决于一个可表示的值或两个可表示的值之间。如果在两个值之间，则round-to-nearest选择较近的一个，到的距离最多为两者之间距离的一半。
对于“x的ULP”，我会写ULP(x)。如果 x 不是可表示值，则 ULP(x) 是小于 |x[ 的最大可表示值的 ULP =144=]|.
|a−b|至多为 2|a|，因为 |b| ≤ |a|。所以a−b中的误差最多为½ ULP(2|a|)，也就是1个ULP(a)。因此 a−b = a−b+e 对于一些舍入误差 e 与 |e| ≤ ULP(a).
现在考虑添加 a−b 和 b 的数学结果。数学结果为a−b + b = a−b+e + b = a+e。所以数学结果在 a 的 1 ULP 以内，包括在内。那它可以四舍五入到什么？
根据 ULP 的定义，下一个比 a 更大的可表示数是 a + ULP(a ).1 下一个较小的可表示数通常是 a − ULP(a), 但如果 a 正好是 a − ½ ULP(a) 2 的幂（因此它是二进制中的最小数字，下一个较低的数字具有较小的指数）。即使在这种情况下，在 a 也有另一个可表示的数字 - ULP(a).
因此数学结果a+e位于闭区间[a−ULP(a), a+ULP(a)], 由两个可表示的数字。令 x 为更接近 a+e 的端点，并假设 a+e 根据四舍五入规则四舍五入到 y。如果y在区间外，则a+e到的距离y 大于到 x 的距离，要么是因为 y 超出了 x在同一方向或因为 y 位于另一个方向，因此超出了另一个端点，至少与 a+e 因为 x 是，所以 y 更远。因此，a+e 舍入到端点之一或区间内的其他可表示数字。所以它四舍五入到 a 的一个 ULP 内的某个数字，包括在内。
因此a−b+b距离a.
脚注
1 为了四舍五入的目的，如果x是最大的可表示有限值，x + ULP(x) 在舍入决定完成之前被视为可表示的。如果四舍五入导致 x + ULP(x) 被选中，则结果为 ∞。 （对于负值也是对称的。）