未加权无向图中的最长路径

Question

以这张图为参考假设我想要 0 到 5 之间的最长路径。

那就是：0->1->3->2->4->6->5

有什么好的算法吗？我已经搜索过，但没有找到任何我能理解的东西。我发现了很多最短路径算法 (0->1->2->4->6->5)，并且我已经成功地实现了它们。也许我是问题所在，但我不这么认为:)

欢迎任何帮助

Answer 1

这个问题是 NP-Hard 问题（从哈密顿路径到你的问题有一个简单的归约，并且已知哈密顿路径搜索是 NP-hard）。这意味着这个问题没有多项式解（除非P = NP）。

如果需要精确解，可以使用动态规划（状态数为指数）：状态为(mask of visited vertices, last_vertex)，值为true或false。如果 last_vertex 和新顶点之间有一条边，则过渡是添加一个不在 mask 中的新顶点。它具有 O(2^n * n^2) 时间复杂度，仍然优于 O(n!) 回溯。

这是一个动态规划解决方案的伪代码：

f = array of (2 ^ n) * n size filled with false values
f(1 << start, start) = true
for mask = 0 ... (1 << n) - 1:
    for last = 0 ... n - 1:
        for new = 0 ... n - 1:
            if there is an edge between last and new and mask & (1 << new) == 0:
                f(mask | (1 << new), new) |= f(mask, last)
res = 0
for mask = 0 ... (1 << n) - 1:
    if f(mask, end):
        res = max(res, countBits(mask))
return res

还有一点关于从哈密顿路径到这个问题的简化：

def hamiltonianPathExists():
    found = false
    for i = 0 ... n - 1:
        for j = 0 ... n - 1:
            if i != j:
                path = getLongestPath(i, j) // calls a function that solves this problem
                if length(path) == n:
                    found = true
    return found

这是一个 Java 实现（我没有正确测试，所以它可能包含错误）：

/**
 * Finds the longest path between two specified vertices in a specified graph.
 * @param from The start vertex.
 * @param to The end vertex.
 * @param graph The graph represented as an adjacency matrix.
 * @return The length of the longest path between from and to.
 */
public int getLongestPath(int from, int to, boolean[][] graph) {
    int n = graph.length;
    boolean[][] hasPath = new boolean[1 << n][n];
    hasPath[1 << from][from] = true;
    for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++)
        for (int last = 0; last < n; last++)
            for (int curr = 0; curr < n; curr++)
                if (graph[last][curr] && (mask & (1 << curr)) == 0)
                    hasPath[mask | (1 << curr)][curr] |= hasPath[mask][last];
    int result = 0;
    for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++)
        if (hasPath[mask][to])
            result = Math.max(result, Integer.bitCount(mask));
    return result;
}

未加权无向图中的最长路径

Longest path in unweighted undirected graph

java

graph

data-structures