在 Agda 中使用隐式参数

Question

我刚开始使用 Agda，并一直在关注 LearnYouAnAgda tutorial，其中向我展示了以下身份证明：

proof : (A : Set) → A → A
proof _ x = x

据我了解，_ 是省略参数 (A : Set) 所必需的。我想使用一个隐式参数来允许我省略 _:

-- using implicit parameter
proof' : {A : Set} → A → A
proof' x = x

这个证明有效。然后我想将它应用于特定案例，就像在教程中所做的那样。我定义 ℕ 并给出我想要证明的类型签名：

data ℕ : Set where
  zero : ℕ
  suc : ℕ → ℕ

idProof : ℕ → ℕ

教程中使用proof给出的构造函数是：

idProof = proof ℕ

我不完全理解这一点，因为考虑到我们已经定义的构造函数，我预计 proof 需要 2 个参数。

我想使用 proof' 编写构造函数，但我发现以下 none 有效：

idProof = proof' ℕ
idProof = {x : ℕ} → proof' x
idProof = {x : Set} → proof' x

使用求解器，但我发现它有效：

idProof = proof' (λ z → z)

我的问题是：

1. proof和proof'有什么区别？

2. 为什么对 proof 使用单个参数 ℕ 是可以接受的？

3. 为什么使用proof'的三个构造函数不起作用？

奖金：

如果能对 idProof = proof' (λ z → z) 的工作原理（尤其是 lambda）做一个简短的解释，我将不胜感激，除非它可能超出我目前对 Agda 的理解水平。

Answer 1

I don't fully understand this, since I expected proof would need 2 parameters considering the constructor we have already defined.

proof 确实需要 2 个参数。但是 idProof 也需要一个参数。

写的时候

idProof : ℕ → ℕ
idProof = proof ℕ

相当于先引入idProof的ℕ，然后像这样传给proof ℕ

idProof : ℕ → ℕ
idProof n = proof ℕ n

I wanted to write a constructor using proof' but I found that none of the following worked:

• idProof = proof' ℕ

proof' 的 A 参数是隐含的。所以没有必要显式传递 ℕ 。你可以只写 idProof = proof' 让 Agda 计算出 A 应该是 ℕ.

• idProof = {x : ℕ} → proof' x 和 idProof = {x : Set} → proof' x

idProof 是 ℕ → ℕ 类型，但 {x : _} → ... 用于构造 Set，不是函数，因此它无法工作。

Bonus: A small explanation of how idProof = proof' (λ z → z) works (esp. the lambda)

proof' : {A : Set} -> A -> A 试图找出 A 应该基于它的参数和它所使用的洞的类型。这里：

• 它被传递了一个恒等函数，所以 A 对于某些 B;
应该具有 B -> B 的形状
• 它用于 ℕ → ℕ 类型的洞中，所以 A 应该是 ℕ → ℕ.
的形状

结论：Agda 选择 ℕ → ℕ 作为 A。