作为有理数的浮点数的精确值

Question

我正在寻找一种方法来将浮点数的精确值转换为有理数 两个整数的商，即 a / b，其中 b 不大于指定的最大分母 b_max。如果满足条件 b <= b_max 是不可能的，那么结果回落到仍然满足条件的最佳近似值。

等等。这里有很多questions/answers关于最佳有理逼近truncated real 表示为浮点数的数字。但是，我对浮点数的 exact 值很感兴趣，它本身就是一个具有不同表示形式的有理数。更具体地说，浮点数的数学集是有理数的子集。在 IEEE 754 二进制浮点标准的情况下，它是 dyadic rationals 的子集。无论如何，任何浮点数都可以转换为两个有限精度整数的有理商，如a / b.

因此，例如 假设 IEEE 754 单精度二进制浮点格式，float f = 1.0f / 3.0f 的有理等价物不是 1 / 3，而是 11184811 / 33554432。这是 f 的 精确 值，它是 IEEE 754 单精度二进制浮点数数学集中的一个数字。

根据我的经验，遍历（通过二进制搜索）Stern-Brocot tree 在这里没有用，因为当它被解释为截断实数而不是精确的有理数。

可能 continued fractions 是要走的路。

这里的另一个问题是整数溢出。想一想我们想要将有理数表示为两个 int32_t 的商，其中最大分母 b_max = INT32_MAX。我们不能依赖像 b > b_max 这样的停止标准。所以算法绝不能溢出，或者它必须检测溢出。

目前我发现的是an algorithm from Rosetta Code，它是基于连分数的，但它的来源提到它是"still not quite complete"。一些基本的测试给出了不错的结果，但我无法确认它的整体正确性，我认为它很容易溢出。

// https://rosettacode.org/wiki/Convert_decimal_number_to_rational#C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdint.h>

/* f : number to convert.
 * num, denom: returned parts of the rational.
 * md: max denominator value.  Note that machine floating point number
 *     has a finite resolution (10e-16 ish for 64 bit double), so specifying
 *     a "best match with minimal error" is often wrong, because one can
 *     always just retrieve the significand and return that divided by 
 *     2**52, which is in a sense accurate, but generally not very useful:
 *     1.0/7.0 would be "2573485501354569/18014398509481984", for example.
 */
void rat_approx(double f, int64_t md, int64_t *num, int64_t *denom)
{
    /*  a: continued fraction coefficients. */
    int64_t a, h[3] = { 0, 1, 0 }, k[3] = { 1, 0, 0 };
    int64_t x, d, n = 1;
    int i, neg = 0;

    if (md <= 1) { *denom = 1; *num = (int64_t) f; return; }

    if (f < 0) { neg = 1; f = -f; }

    while (f != floor(f)) { n <<= 1; f *= 2; }
    d = f;

    /* continued fraction and check denominator each step */
    for (i = 0; i < 64; i++) {
        a = n ? d / n : 0;
        if (i && !a) break;

        x = d; d = n; n = x % n;

        x = a;
        if (k[1] * a + k[0] >= md) {
            x = (md - k[0]) / k[1];
            if (x * 2 >= a || k[1] >= md)
                i = 65;
            else
                break;
        }

        h[2] = x * h[1] + h[0]; h[0] = h[1]; h[1] = h[2];
        k[2] = x * k[1] + k[0]; k[0] = k[1]; k[1] = k[2];
    }
    *denom = k[1];
    *num = neg ? -h[1] : h[1];
}

Answer 1

所有有限 double 都是 rational numbers 正如 OP 所说的那样..

使用frexp()将数字分解为分数和指数。由于范围的要求，最终的结果还是需要用double来表示整数值。有些数字太小，（x 小于 1.0/(2.0,DBL_MAX_EXP)）和无穷大，非数字是问题。

The frexp functions break a floating-point number into a normalized fraction and an integral power of 2. ... interval [1/2, 1) or zero ...
C11 §7.12.6.4 2/3

#include <math.h>
#include <float.h>

_Static_assert(FLT_RADIX == 2, "TBD code for non-binary FP");

// Return error flag
int split(double x, double *numerator, double *denominator) {
  if (!isfinite(x)) {
    *numerator = *denominator = 0.0;
    if (x > 0.0) *numerator = 1.0;
    if (x < 0.0) *numerator = -1.0;
    return 1;
  }
  int bdigits = DBL_MANT_DIG;
  int expo;
  *denominator = 1.0;
  *numerator = frexp(x, &expo) * pow(2.0, bdigits);
  expo -= bdigits;
  if (expo > 0) {
    *numerator *= pow(2.0, expo);
  }
  else if (expo < 0) {
    expo = -expo;
    if (expo >= DBL_MAX_EXP-1) {
      *numerator /= pow(2.0, expo - (DBL_MAX_EXP-1));
      *denominator *= pow(2.0, DBL_MAX_EXP-1);
      return fabs(*numerator) < 1.0;
    } else {
      *denominator *= pow(2.0, expo);
    }
  }

  while (*numerator && fmod(*numerator,2) == 0 && fmod(*denominator,2) == 0) {
    *numerator /= 2.0;
    *denominator /= 2.0;
  }
  return 0;
}

void split_test(double x) {
  double numerator, denominator;
  int err = split(x, &numerator, &denominator);
  printf("e:%d x:%24.17g n:%24.17g d:%24.17g q:%24.17g\n", 
      err, x, numerator, denominator, numerator/ denominator);
}

int main(void) {
  volatile float third = 1.0f/3.0f;
  split_test(third);
  split_test(0.0);
  split_test(0.5);
  split_test(1.0);
  split_test(2.0);
  split_test(1.0/7);
  split_test(DBL_TRUE_MIN);
  split_test(DBL_MIN);
  split_test(DBL_MAX);
  return 0;
}

输出

e:0 x:      0.3333333432674408 n:                11184811 d:                33554432 q:      0.3333333432674408
e:0 x:                       0 n:                       0 d:        9007199254740992 q:                       0
e:0 x:                       1 n:                       1 d:                       1 q:                       1
e:0 x:                     0.5 n:                       1 d:                       2 q:                     0.5
e:0 x:                       1 n:                       1 d:                       1 q:                       1
e:0 x:                       2 n:                       2 d:                       1 q:                       2
e:0 x:     0.14285714285714285 n:        2573485501354569 d:       18014398509481984 q:     0.14285714285714285
e:1 x: 4.9406564584124654e-324 n:  4.4408920985006262e-16 d: 8.9884656743115795e+307 q: 4.9406564584124654e-324
e:0 x: 2.2250738585072014e-308 n:                       2 d: 8.9884656743115795e+307 q: 2.2250738585072014e-308
e:0 x: 1.7976931348623157e+308 n: 1.7976931348623157e+308 d:                       1 q: 1.7976931348623157e+308

b_max 以后再考虑。

---

将 pow(2.0, expo) 替换为 ldexp(1, expo) or exp2(expo)

可以使用更方便的代码

while (*numerator && fmod(*numerator,2) == 0 && fmod(*denominator,2) == 0) 也可以使用一些性能改进。但首先，让我们根据需要获取功能。