我如何找到函数 $f(\beta) = \gamma + [1-e^{-j\beta}]/[1-e^{(-j+1)\beta}] 的根$，使用 python

Question

我有以下等式，我找不到 $\beta$ 的封闭形式解，因此我想通过计算求解 $\beta$ ：

$$\gamma = \frac{1-e^{-jT\beta}}{1-e^{-(j+1)T\beta}}$$

变量$\gamma$, $j$和 $T$ 是已知的。不幸的是，我不了解方程根的括号。

python中是否有算法可以在不知道括号的情况下求解根？

Answer 1

Scipy 有几个求根算法的选项：https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.13.0/reference/optimize.html#root-finding

这些算法往往需要可能解或导数的边界。在这种情况下，边界似乎工作较少 :)

编辑： 重新阅读您的问题后，听起来您没有上限和下限的估计值。在那种情况下，我建议使用牛顿法 (scipy.optim.newton, in which case you'll have to compute the derivative (by hand or with sympy)。

import matplotlib
matplotlib.use('Agg')

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
import matplotlib.pyplot as plt

def gamma_func(beta, j, T):
    return (1-np.exp(-j*T*beta)) / (1-np.exp(-(j+1)*T*beta))

# Subtract gamma from both sides so that we have f(beta,...) = 0.
# Also, set beta, the independent variable, to the first
# argument for compatibility with solver
def f(beta, gamma, j, T):
    return gamma_func(beta, j, T) - gamma


# Parameters
gamma = 0.5
j = 2.3
T = 1.5

# Lower and upper bounds for solution
beta_low = -3
beta_high = 3

# Error tolerance for solution
tol = 1e-4

# True solution
beta_star = brentq(f, beta_low, beta_high, args=(gamma, j, T), xtol=tol)


# Plot the solution
plt.figure()
plt.clf()
beta_arr = np.linspace(-10, 10, 1001)
gamma_arr = gamma_func(beta_arr, j, T)
plt.plot(beta_arr, gamma_arr)
plt.plot(beta_star, gamma_func(beta_star, j, T), 'o')
plt.savefig('gamma_plot.png')

# Print the solution
print("beta_star = {:.3f}".format(beta_star))
print("gamma(beta_star) = {:.3f}".format(gamma_func(beta_star, j, T)))

beta_star = -0.357
gamma(beta_star) = 0.500

请参阅其他求解器的文档，包括多维求解器。

祝你好运！

奥利弗

我如何找到函数 $f(\beta) = \gamma + [1-e^{-j\beta}]/[1-e^{(-j+1)\beta}] 的根$，使用 python

How do I find the roots of the function $f(\beta) = \gamma + [1-e^{-j\beta}]/[1-e^{(-j+1)\beta}]$, using python

python

computation

python-3.x