将 74 位整数转换为基数 31

Question

要生成大小为 74 的 UFI number, I use a bitset。要执行 UFI 生成的第 2 步，我需要转换此数字：

9 444 732 987 799 592 368 290
(10000000000000000000000000000101000001000001010000011101011111100010100010)

进入：

DFSTTM62QN6DTV1

通过将第一个表示形式转换为基数 31 并从 table 中获取等效字符。

#define PAYLOAD_SIZE 74
// payload = binary of 9444732987799592368290
std::bitset<PAYLOAD_SIZE> bs_payload(payload);
/*
perform modulo 31 to obtain:
12(D), 14(F), 24(S), 25(T), 25, 19, 6, 2, 22, 20, 6, 12, 25, 27, 1
*/

有没有办法在不使用外部 BigInteger 库的情况下对我的位集执行转换？

编辑：我终于完成了BigInteger class即使干杯和hth。 - Alf 的解决方案非常有效

Answer 1

我没有编译伪代码，但是你可以得到如何转换数字的生成理解：

// Array for conversion of value to base-31 characters:
char base31Characters[] = 
{
    '0',
    '1',
    '2',
    ...
    'X',
    'Y'
};

void printUFINumber(__int128_t number)
{
    string result = "";
    while (number != 0)
    {
        var mod = number % 31;
        result = base31Characters[mod] + result;
        number = number / 31;
    }
    cout << number;
}

Answer 2

此代码似乎有效。为了保证结果，我认为你需要做额外的测试。例如。首先用小数字，你可以直接计算结果。

编辑：哦，现在我注意到您发布了所需的结果数字，并且它们匹配。意味着它通常很好，但仍未针对极端情况进行测试。

#include <assert.h>
#include <algorithm>            // std::reverse
#include <bitset>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

template< class Type > using ref_ = Type&;

namespace base31
{
    void mul2( ref_<vector<int>> digits )
    {
        int carry = 0;
        for( ref_<int> d : digits )
        {
            const int local_sum = 2*d + carry;
            d = local_sum % 31;
            carry = local_sum / 31;
        }
        if( carry != 0 )
        {
            digits.push_back( carry );
        }
    }

    void add1( ref_<vector<int>> digits )
    {
        int carry = 1;
        for( ref_<int> d : digits )
        {
            const int local_sum = d + carry;
            d = local_sum % 31;
            carry = local_sum / 31;
        }
        if( carry != 0 )
        {
            digits.push_back( carry );
        }
    }

    void divmod2( ref_<vector<int>> digits, ref_<int> mod )
    {
        int carry = 0;
        for( int i = int( digits.size() ) - 1; i >= 0; --i )
        {
            ref_<int> d = digits[i];
            const int divisor = d + 31*carry;
            carry = divisor % 2;
            d = divisor/2;
        }
        mod = carry;
        if( digits.size() > 0 and digits.back() == 0 )
        {
            digits.resize( digits.size() - 1 );
        }
    }
}


int main() {
    bitset<74> bits(
        "10000000000000000000000000000101000001000001010000011101011111100010100010"
        );
    vector<int> reversed_binary;
    for( const char ch : bits.to_string() ) { reversed_binary.push_back( ch - '0' ); }

    vector<int> base31;
    for( const int bit : reversed_binary )
    {
        base31::mul2( base31 );
        if( bit != 0 )
        {
            base31::add1( base31 );
        }
    }

    { // Check the conversion to base31 by converting back to base 2, roundtrip:
        vector<int> temp31 = base31;
        int mod;
        vector<int> base2;
        while( temp31.size() > 0 )
        {
            base31::divmod2( temp31, mod );
            base2.push_back( mod );
        }
        reverse( base2.begin(), base2.end() );
        cout << "Original     : " << bits.to_string() << endl;
        cout << "Reconstituted: ";
        string s;
        for( const int bit : base2 ) { s += bit + '0'; cout << bit; };  cout << endl;
        assert( s == bits.to_string() );
    }

    cout << "Base 31 digits (msd to lsd order): ";
    for( int i = int( base31.size() ) - 1; i >= 0; --i )
    {
        cout << base31[i] << ' ';
    }
    cout << endl;

    cout << "Mod 31 = " << base31[0] << endl;
}

MinGW g++ 的结果：

Original     : 10000000000000000000000000000101000001000001010000011101011111100010100010
Reconstituted: 10000000000000000000000000000101000001000001010000011101011111100010100010
Base 31 digits (msd to lsd order): 12 14 24 25 25 19 6 2 22 20 6 12 25 27 1
Mod 31 = 1

Answer 3

要获得一个数的模 31，您只需要 sum up the digits in base 32，就像计算十进制数的模 3 和模 9 一样

unsigned mod31(std::bitset<74> b) {
    unsigned mod = 0;
    while (!b.none()) {
        mod += (b & std::bitset<74>(0x1F)).to_ulong();
        b >>= 5;
    }
    while (mod > 31)
        mod = (mod >> 5) + (mod & 0x1F);
    return mod;   
}

您可以通过运行像 how its done here 一样的并行加法来加速模计算。类似的技术可用于计算模 3、5、7、15... 和 2³¹ - 1

然而，由于问题实际上是关于 base conversion 而不是标题所说的模数，因此您需要为此进行真正的除法。注意 1/b 在基数 b + 1 中是 0.(1)，我们有

1/31 = 0.000010000100001000010000100001...₃₂ = 0.(00001)₃₂

然后N/31可以这样计算

N/31 = N×2^-5 + N×2^-10 + N×2^-15 + ...

uint128_t result = 0;
while (x)
{
    x >>= 5;
    result += x;
}

由于模和除都使用 shift-by-5，因此您也可以在一个循环中同时执行它们。

然而这里棘手的部分是如何正确地四舍五入商。上面的方法适用于大多数值，除了一些介于 31 的倍数和 2 的下一次幂之间的值。我已经找到了纠正高达几千的值的结果的方法，但尚未找到所有值的通用方法

您可以看到相同的 shift-and-add 方法被用于 divide by 10 and by 3. There are more examples in the famous Hacker's Delight 并进行了适当的舍入。我没有足够的时间通读这本书来理解他们是如何实现结果校正部分的，所以也许我稍后会再谈这个。如果有人对此有任何想法，将不胜感激。

一个建议是在 fixed-point 中进行除法。只需将值左移，以便我们有足够的小数部分稍后舍入

uint128_t result = 0;
const unsigned num_fraction = 125 - 75 // 125 and 75 are the nearest multiple of 5
// or maybe 128 - 74 will also work
uint128_t x = UFI_Number << num_fraction; 

while (x)
{
    x >>= 5;
    result += x;
}
// shift the result back and add the fractional bit to round
result = (result >> num_fraction) + ((result >> (num_fraction - 1)) & 1)

请注意，您上面的结果不正确。我已经确认结果是 CEOPPJ62MK6CPR1 来自两个 Yaniv Shaked's answer and Wolfram alpha 除非你对数字使用不同的符号

将 74 位整数转换为基数 31

Convert a 74-bit integer to base 31

c++

c++11

bigint

base-conversion

std-bitset