R：如何获得用于分析积分的插值样条的分段系数？

Question

动机

我正在对一个深度嵌套的多重积分进行数值计算。在每个嵌套级别，我得到一个位于下面级别的积分向量，将其乘以密度函数向量，得到该级别的被积函数向量 y。 x 值间隔不均匀。

被积函数是弯曲的，梯形积分不够准确，所以我想做一个允许曲率的积分。 Simpson 规则不适用，因为横坐标不是均匀分布的。所以我建议做一个三次样条插值，然后通过解析计算每个段的三次样条的积分来计算样条函数的积分

问题

我一直在研究 spline 和 splinefun 以及 splines2 包中的函数。但是我找不到任何可以告诉我一系列三次多项式的系数的信息 - 节点之间的每段一个。

如果有人能给我指点一个进行样条插值并提供三次系数数组的函数，我将不胜感激。

谢谢。

Answer 1

这是在这里扩展我的新答案的好机会：有了分段参数化，计算分段积分就很容易了。

这是一个用于计算的（矢量化）函数：

## a function for integration on a piece
piecewise_int <- function (hi, yi, bi, ci, di) {
  yi * hi + bi * hi ^ 2 / 2 + ci * hi ^ 3 / 3 + di * hi ^ 4 / 4
  }

下面我将以那个帖子里的小例子，展示如何整合spline。

## the small example in the linked thread
set.seed(0)
xk <- c(0, 1, 2)
yk <- round(runif(3), 2)
f <- splinefun(xk, yk, "natural")  ## natural cubic spline
construction_info <- environment(f)$z

## information for integration
int_info <- with(construction_info,
                 list(h = diff(x), y = y[-n], b = b[-n], c = c[-n], d = d[-n])
                 )

## cubic spline integration on all pieces
integral <- sum(do.call(piecewise_int, int_info))
#[1] 0.81375

我们也可以进行数值积分来验证这个结果。

integrate(f, 0, 2)
#0.81375 with absolute error < 9e-15

R：如何获得用于分析积分的插值样条的分段系数？

R: How to get piecewise coefficients of an interpolation spline for analytical integration?

interpolation

r

spline

integral

polynomials