来自两个 3D 点的欧拉角和旋转矩阵

Question

我正在尝试找到允许在 3D space.

中从点 A 到点 B 的变换的欧拉角

考虑归一化向量 A = [1, 0, 0] 和 B = [0.32 0.88 -0.34]。

我知道通过计算叉积 A × B 我得到了旋转轴。 A 和 B 之间的角度由 tan⁻¹(||cross||, A·B) 给出，其中 A·B 是点积在 A 和 B 之间。

这给了我旋转向量 rotvec = [0 0.36 0.93 1.24359531111]，它是 rotvec = [A × B; angle]（叉积已归一化）。

现在我的问题是：我如何从这里移动以获得对应于从 A 到 B 的变换的欧拉角？

在 MATLAB 中，函数 vrrotvec2mat receives as input a rotation vector and outputs a rotation matrix. Then the function rotm2eul 应该 return 对应的欧拉角。根据 XYZ 约定，我得到以下结果（以弧度表示）：[0.2456 0.3490 1.2216]。然而，这并不是预期的结果。

正确答案是[0 0.3490 1.2216]，分别对应Y和Z中20°和70°的轮换。

当我使用eul2rot([0 0.3490 1.2216])（eul2rot取自here）验证生成的旋转矩阵时，这个与我使用[=35=时得到的不同].

我还有一个 Python spinet 可以产生与上述完全相同的结果。

--- Python (2.7) 使用 transform3d ---

import numpy as np
import transforms3d

cross = np.cross(A, B)
dot = np.dot(A, B.transpose())
angle = math.atan2(np.linalg.norm(cross), dot)
rotation_axes = sklearn.preprocessing.normalize(cross)
rotation_m = transforms3d.axangles.axangle2mat(rotation_axes[0], angle, True)
rotation_angles = transforms3d.euler.mat2euler(rotation_m, 'sxyz')

我在这里缺少什么？我应该怎么做？

谢谢

Answer 1

旋转矩阵有 3 个自由度，但你的问题的约束只限制了其中的 2 个自由度。

考虑到我们有一个旋转矩阵 R 从 A 旋转到 B 所以 R*A == B 的情况，这可以变得更具体。如果我们然后构造另一个围绕向量 B 旋转的旋转矩阵 RB，那么将此旋转应用于 R*A 将不会有任何效果，即 B == R*A == RB*R*A。但是，它将产生具有不同欧拉角的不同旋转矩阵 RB*R。

这是 MATLAB 中的示例：

A = [1; 0; 0];
B = [0.32; 0.88; -0.34];

A = A / norm(A);
B = B / norm(B);

ax = cross(A, B);
ang = atan2(norm(ax), dot(A, B)); % ang = acos(dot(A, B)) works too
R = axang2rotm([ax; ang].');

ang_arbitrary = rand()*2*pi;
RB = axang2rotm([B; ang_arbitrary].');

R*A - B
RB*R*A - B

rotm2eul(R)
rotm2eul(RB*R)

结果

ans =
   1.0e-15 *

   -0.0555
    0.1110
         0

ans =
   1.0e-15 *

    0.2220
    0.7772
   -0.2776

ans =    
    1.2220    0.3483    0.2452

ans =    
    1.2220    0.3483    0.7549

Answer 2

我会根据Euler's rotation theorem给你一个解决方案。

这个解法只给了你一个角度，其他的角度都可以推导出来。

import numpy as np


a_vec = np.array([1, 0, 0])/np.linalg.norm(np.array([1, 0, 0]))
b_vec = np.array([0.32, 0.88, -0.34])/np.linalg.norm(np.array([0.32, 0.88, -0.34]))

cross = np.cross(a_vec, b_vec)
ab_angle = np.arccos(np.dot(a_vec,b_vec))


vx = np.array([[0,-cross[2],cross[1]],[cross[2],0,-cross[0]],[-cross[1],cross[0],0]])
R = np.identity(3)*np.cos(ab_angle) + (1-np.cos(ab_angle))*np.outer(cross,cross) + np.sin(ab_angle)*vx


validation=np.matmul(R,a_vec)

这使用公共旋转轴（本例中为特征向量）作为叉积。

矩阵R就是rotation matrix.

这是一般的做法，非常简单。

来自两个 3D 点的欧拉角和旋转矩阵

Euler Angles and Rotation Matrix from two 3D points

python

matlab

euler-angles

rotational-matrices