为什么这个类型注释是错误的？

Question

我试图按照article by Gabriel Gonzalez和我运行的类型不匹配。考虑以下短模块：

{-# LANGUAGE DeriveFunctor #-}
{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

module Yoneda where

newtype F a = F a deriving (Show, Functor)

type G f a = forall a'. (a -> a') -> f a'

fw :: Functor f => G f a -> f a
fw x = x id

bw :: Functor f => f a -> G f a
bw x = \f -> fmap f x

编译正常。 （使用 ghc 8.2.2 和 8.4.3。） 但是当我在 repl 中戳它时，fw 和 bw 不组成：

λ :t bw . fw

<interactive>:1:6: error:
    • Couldn't match type ‘a’ with ‘G f a1’
      ‘a’ is a rigid type variable bound by
        the inferred type of it :: Functor f => a -> (a1 -> a') -> f a'
        at <interactive>:1:1
      Expected type: a -> f a1
        Actual type: G f a1 -> f a1
    • In the second argument of ‘(.)’, namely ‘fw’
      In the expression: bw . fw

当我更仔细地查看 bw 时，它所采用的函子类型似乎与 returns 不同：

λ :t bw
bw :: Functor f1 => f2 a1 -> (a2 -> a') -> f1 a'

— 尽管我在类型签名中声明它们应该相同！无论我用 fw 和 bw 添加什么类型的注释，它们都不想统一。

如果我从 fw 中删除类型签名，一切都会顺利进行。特别是，推断的类型签名将是：

fw :: ((a -> a) -> t) -> t

因此，forall 量词似乎破坏了一切。但我不明白为什么。不应该是"any type a -> a' will do, including a -> a"的意思吗？似乎相同的类型同义词 G f a 在 fw 和 bw!

的类型签名中以不同的方式起作用

这是怎么回事？

更多实验：

λ (fw . bw) (F 1)
...error...
λ (fw (bw (F 1)))
F 1
λ :t fw . undefined
...error...
λ :t undefined . fw
...error
λ :t bw . undefined
bw . undefined :: Functor f => a1 -> (a2 -> a') -> f a'
λ :t undefined . bw
undefined . bw :: Functor f => f a -> c

所以（正如@chi在回答中指出的那样）没有函数可以由fw组成。但 bw 并非如此。为什么？

Answer 1

forall 量词使您的类型接受所有 a -> a'，但您在 fw 中实际需要的是确保参数类型和返回类型相同的限制，这就是签名 a -> a 的意思。

所以是的，forall 版本接受一个函数 a -> a，但它不仅接受这些函数。如上所述，编译器告诉您 fw 应该只接受类型为 a -> a 的函数。

Answer 2

这是一个预测性问题。

本质上，如果我们有一个多态值 f :: forall a . SomeTypeDependingOn a，并且我们在一些更大的表达式中使用它，这可以将类型 a 实例化为任何需要的类型 T 以适应它语境。但是，预测性要求 T 不包含 forall。需要此限制才能进行类型推断。

在您的代码中，bw . fw 您使用了多态函数 .（组合）。它具有多态类型，其中一个类型变量 t 代表要组合的第二个函数的域 (g in f . g) 。对于 bw . fw 类型检查，我们应该选择 t ~ G f a，但是 G f a = (forall a' . ...) 因此它违反了预测性。

通常的解决方案是使用 newtype 包装器

newtype G f a = G { unG :: forall a'. (a -> a') -> f a' }

其中 "hides" 在 forall 下一个构造函数，因此 t ~ G f a 成为允许的。要使用它，需要根据需要利用同构 G 和 unG，根据需要包装和展开。这需要程序员进行额外的工作，但正是这项工作使推理算法能够完成其工作。

或者，不要使用 .，并以有针对性的风格编写函数

test :: Functor f => G f a -> G f a
test x = bw (fw x)

关于 bw 的类型，据 GHCi 报道：

> :t bw
bw :: Functor f1 => f2 a1 -> (a2 -> a') -> f1 a'

这种类型是“forall提升”的结果，本质上"moves"通用量词是这样的：

a1 -> ... -> forall b. F b   =====>     forall b. a1 -> ... -> F b

提升是自动执行的，以帮助类型推断。

更多失败，我们有

bw :: forall f a . Functor f => f a -> G f a
-- by definition of G
bw :: forall f a . Functor f => f a -> (forall a'. (a -> a') -> f a')
-- after hoisting
bw :: forall f a a'. Functor f => f a -> (a -> a') -> f a'

由于现在所有量词都在顶层，当bw与另一个函数bw . h或h . bw组合时，我们可以先实例化f, a, a'到新鲜的类型变量，然后对这些变量进行统一，以匹配 h.

的类型

比如在bw . undefined中我们进行如下操作

 -- fresh variables for (.)
 (.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
 -- fresh variables for bw
 bw :: Functor f . f a1 -> (a1 -> a') -> f a'
 -- fresh variables for undefined
 undefined :: a2

 So we get:
 b = f a1
 c = (a1 -> a') -> f a'
 a2 = a -> b

 Hence the type of (bw . undefined) is
 a -> c
 = a -> (a1 -> a') -> f a'
 (assuming Functor f)

GHCi 同意，只是它为类型变量选择了不同的名称。当然，这个选择并不重要。

(bw . undefined) :: Functor f => a1 -> (a2 -> a') -> f a'

啊哈！ GHCi-8.2.2 似乎存在一些 GHC 8.4.3 中不存在的问题。

-- GHCi 8.2.2
> :set -XRankNTypes
> type G f a = forall a'. (a -> a') -> f a'
> bw :: Functor f => f a -> G f a ; bw x = \f -> fmap f x
> :t bw
bw :: Functor f1 => f2 a1 -> (a2 -> a') -> f1 a'

-- GHCi 8.4.3
> :set -XRankNTypes
> type G f a = forall a'. (a -> a') -> f a'
> bw :: Functor f => f a -> G f a ; bw x = \f -> fmap f x
> :t bw
bw :: Functor f => f a -> (a -> a') -> f a'

为什么这个类型注释是错误的？

Why is this type annotation wrong?

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