3D 向量的旋转和方向 space - 逆序

Question

我有两个 3D 向量 - space、S（开始）和 T（目标），我想找到允许这样的旋转矩阵 (RM)转型。

我知道通过计算叉积 S × T 我得到了旋转轴。 S 和 T 之间的角度由 tan⁻¹(||S × T||, S·T) 给出，其中 S·T 是 S 和 T 之间的点积。

这给了我旋转向量 rotvec = [S x T; angle]（叉积已归一化）。然后通过使用函数 vrrotvec2mat (in MATLAB) or transforms3d.axangles.axangle2mat （在 Python 中）我可以获得对应于从 S 到 T.

的转换的旋转矩阵

在我的应用程序中 T 由点积 RM·D 给出，其中 D 是一个 3x1 向量. 我的目标是找到RM。我知道 S、T 和 D，但我很难理解这背后的数学原理。

实际上我想在 S 和 T' 之间找到一个 RM，其中 T' 是应用 D（方向）之前的目标向量。

更多上下文：我想从相机坐标系中的 3D 点获取 body 关节角度。

Answer 1

为了完成这项工作，您还需要旋转中心（旋转后保持不变的点）...现在我们需要两个变换矩阵，一个表示变换前的坐标系，一个表示变换后的坐标系。

要构建 3D 变换矩阵，您需要 3 个垂直的基向量和原点位置，请参阅：

现在旋转轴将是基础向量之一，我们可以使用 S,T 作为第二个，所以第三个我们可以用叉积计算，原点将是旋转中心：

X = cross(S,T);                      // rotation axis
X /= |X|;                            // unit vector
Y = S;                               // start vector
Y /= |Y|;                            // unit vector
Z = cross(X,Y);                      // Z perpendicular to X,Y
Z /= |Z|;                            // unit vector
O = center_of_rotation;

因此从中构建 4x4 变换矩阵 A。对 B 执行相同操作，但使用 T 而不是 S。现在我们要计算差异变换，所以如果 p=(x,y,z,1) 是要变换的任何点，则：

p' = Inverse(A)*p 
p' = B*p'

所以你的变换矩阵M是：

M = Inverse(A)*B;

请注意，如果您使用不同的约定（乘法顺序、矩阵方向等），这将适用于标准 OpenGL 约定，方程式可能会改变。

您还可以使用更有效、更准确地计算 Inverse(A)。

如您所见，您不需要任何测角学或角度来执行此操作（矢量数学在这方面很好）

[Edit1] C++ 示例

它使用 VCL（你可以忽略的 AnsiString 和 mm_log）和我的矢量数学（使用的函数在第一个 link 中）。

//---------------------------------------------------------------------------
AnsiString matrix_prn(double *a)
    {
    int i; AnsiString s;
    for (s ="(",i=0;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=1;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=2;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=3;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')';
    return s;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
AnsiString vector_prn(double *a)
    {
    int i; AnsiString s;
    for (s ="(",i=0;i<3;i++) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')';
    return s;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner):TForm(Owner)
    {
    int i;
    double O[3]={0.00, 0.00,0.00};  // center ofrotation
    double S[3]={4.10,-9.44,0.54};  // start vector
    double T[3]={1.40,-9.08,4.10};  // end vector
    double A[16],_A[16],B[16],M[16],X[3],Y[3],Z[3];

    // A
    vector_mul(X,S,T);  // rotation axis
    vector_one(X,X);    // unit vector
    vector_one(Y,S);    // unit start vector
    vector_mul(Z,X,Y);  // Z perpendicular to X,Y
    vector_one(Z,Z);    // unit vector
    for (i=0;i<3;i++)
        {
        A[ 0+i]=X[i];
        A[ 4+i]=Y[i];
        A[ 8+i]=Z[i];
        A[12+i]=O[i];
        A[(i<<2)+3]=0.0;
        } A[15]=1.0;
    // B
    vector_one(Y,T);    // unit end vector
    vector_mul(Z,X,Y);  // Z perpendicular to X,Y
    vector_one(Z,Z);    // unit vector
    for (i=0;i<3;i++)
        {
        B[ 0+i]=X[i];
        B[ 4+i]=Y[i];
        B[ 8+i]=Z[i];
        B[12+i]=O[i];
        B[(i<<2)+3]=0.0;
        } B[15]=1.0;
    // M = B*Inverse(A)
    matrix_inv(_A,A);
    matrix_mul(M,_A,B);

    mm_log->Lines->Add("A");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(A));
    mm_log->Lines->Add("B");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(B));
    mm_log->Lines->Add("M");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(M));
    mm_log->Lines->Add("");

    vector_one(S,S);    // unit start vector
    vector_one(T,T);    // unit end vector
    mm_log->Lines->Add("S = "+vector_prn(S));
    matrix_mul_vector(X,M,S);
    mm_log->Lines->Add("X = "+vector_prn(X));
    mm_log->Lines->Add("T = "+vector_prn(T));
    }
//-------------------------------------------------------------------------

结果如下：

A
(-0.760, 0.398,-0.514, 0.000)
(-0.361,-0.916,-0.175, 0.000)
(-0.540, 0.052, 0.840, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)
B
(-0.760, 0.139,-0.635, 0.000)
(-0.361,-0.903, 0.235, 0.000)
(-0.540, 0.408, 0.736, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)
M
( 0.959, 0.258,-0.115, 0.000)
(-0.205, 0.916, 0.345, 0.000)
( 0.194,-0.307, 0.932, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)

S = ( 0.398,-0.916, 0.052)
X = ( 0.139,-0.903, 0.408) // X = M * S
T = ( 0.139,-0.903, 0.408)

如您所见，如果我将单位 S 转换为 M，我得到了单位 T 向量。 PS。我的 matrix_mul_vector 和 vector_mul 假设 w=1.0 但因为 O=(0.0,0.0,0.0) 向量和点是相同的。

3D 向量的旋转和方向 space - 逆序

Rotation and direction of a vector in 3D space - Inverse Order

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