阶跃函数的卷积和指数衰减

Question

我正在尝试将以下公式应用于我的数据：

$M(t)=\int_{0}^{t}f(\tau&space;)G(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t}f(\tau&space;)[A\frac{\lambda&space;_{bi}}{\lambda&space;_{bi}-\lambda&space;_{pb}}(e^{-\lambda&space;_{pb}(t-\tau)}-e^{-\lambda&space;_{bi}(t-\tau)})+Be^{-\lambda&space;_{bi}(t-\tau)}]d\tau$

其中 A = 0.3，B=1，lambda_pb = 0.000431062，lambda_bi = 0.000580525。

对于时间 t，我有：

t=np.array([0, 900, 1800, 2700, 3600, 4500, 5400, 6300, 7200, 8100])

和 f(t):

f=np.array([ 0., 0., 0.00555556, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

对于 G(t)：

G=np.array([ 1., 0.69255058,  0.47822256,  0.32940846, 0.22642738,  0.15536312,  0.10643991,  0.07282715,  0.04977304,  0.03398402])

然后我使用以下代码对 G(t) 和 f(t) 进行卷积：

import numpy as np
from numpy import convolve
convolution=np.convolve(f, G)[:len(t)]*(t[1]-t[0])

我得到以下情节：对于 t < tau，我得到红色曲线。然而，这是不正确的，因为对于 t < tau，G(t-tau)=0（因果关系原理）。因此，我想获得黑色曲线（t=tau 处的垂直增加）。谁能告诉我如何改进我的代码来做到这一点，并且只考虑 t>tau 的响应函数 G(t-tau)？也许使用阶跃函数？

Answer 1

是不是剧情的问题？

我对你的公式一无所知，但卷积结果对我来说看起来不错。但是，对于数据 [0, 0, 0.00555556...]，plt.plot 将绘制这样的曲线。 plt.step 可能会解决这个问题

plt.step(t[:3], convolution[:3], where='post', color='r')
plt.plot(t[2:], convolution[2:], color='r')

或者，如果可以的话，重新采样 t 也可以缓解它

def G(t):
    term1 = A * lambda_bi / (lambda_bi - lambda_pb) 
    term2 = np.exp(-lambda_pb * t) - np.exp(-lambda_bi * t)
    term3 = B * np.exp(-lambda_bi * t)
    return term1 * term2 + term3

t = np.linspace(0, 8100, 811)

f = np.zeros(t.shape)
f[t==1800] = 0.00555556

g = G(t)

conv = np.convolve(f, g)[:len(t)]*(t[1]-t[0])
plt.plot(conv)

阶跃函数的卷积和指数衰减

Convolution of step function and exponential decay

python

numpy

matplotlib

convolution