用于积分 ODE 的隐式 Euler 方法
Implicit Euler method for integration of ODEs
对于那些熟悉该方法的人来说，众所周知，必须求解方程式：
y(i+1) = y(i) + h*F( X(i+1), Y(i+1) )
但是，F 通常不是线性的，因此得到的方程通常对 y(i+1) 有很多不同的解。我们正在寻找哪种解决方案，例如，对 Newton-Raphson 方法要做什么才能找到正确的零？感谢任何帮助。
通常您会选择最接近 y(i) 的解决方案。正确解应该满足
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)) + O(h²)
然而，对于刚性问题，O(h²) 中的常数可能非常大，因此这种关系并不像看起来那么有用。
如果L是f和q=L·h < 1的Lipschitz常数，那么迭代
k(j+1) = f(x(i+1), y(i)+h*k(j))
几何收敛，误差与 q^j/(1-q) 或更小成正比。
这对于刚性问题是违反的，您在 (x(i+1),y(i)) 中使用 f 的 Jacobian J 来迭代
k(j+1) = k(j) - (I-h*J)^(-1)*( k(j)-f( x(i+1), y(i)+h*k(j)) )
可能将 (I-h*J)^(-1) 近似为 I+h*J，参见 Rosenbrock 方法。从 k(0)=0 或 k(0)=f(x(i),y(i)) 开始应该几乎总是快速收敛到正确的解决方案。
对于那些熟悉该方法的人来说，众所周知，必须求解方程式：
y(i+1) = y(i) + h*F( X(i+1), Y(i+1) )
但是，F 通常不是线性的，因此得到的方程通常对 y(i+1) 有很多不同的解。我们正在寻找哪种解决方案，例如，对 Newton-Raphson 方法要做什么才能找到正确的零？感谢任何帮助。
通常您会选择最接近 y(i) 的解决方案。正确解应该满足
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)) + O(h²)
然而，对于刚性问题，O(h²) 中的常数可能非常大，因此这种关系并不像看起来那么有用。
如果L是f和q=L·h < 1的Lipschitz常数，那么迭代
k(j+1) = f(x(i+1), y(i)+h*k(j))
几何收敛，误差与 q^j/(1-q) 或更小成正比。
这对于刚性问题是违反的，您在 (x(i+1),y(i)) 中使用 f 的 Jacobian J 来迭代
k(j+1) = k(j) - (I-h*J)^(-1)*( k(j)-f( x(i+1), y(i)+h*k(j)) )
可能将 (I-h*J)^(-1) 近似为 I+h*J，参见 Rosenbrock 方法。从 k(0)=0 或 k(0)=f(x(i),y(i)) 开始应该几乎总是快速收敛到正确的解决方案。