Curry-Howard 对应的是双重否定 ((a->r)->r) 还是 ((a->⊥)->⊥)？

Question

a双重否定的Curry-Howard对应者； (a -> r) -> r 或 (a -> ⊥) -> ⊥，或两者兼而有之？

两种类型都可以在Haskell中编码如下，其中⊥编码为forall b. b。

p1 :: forall r. ((a -> r) -> r)
p2 :: (a -> (forall b. b)) -> (forall b. b)

Wadler 2003 的论文以及 implementation in Haskell 似乎采用前者，而一些其他文献（例如 this）似乎支持后者。

我目前的理解是后者是正确的。我很难理解前一种风格，因为您可以使用纯计算从 forall r. ((a -> r) -> r) 创建类型 a 的值：

> let p1 = () :: forall r. (Int -> r) -> r
> p1 id
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这似乎与不能从 ￢￢a 推导出 a 的直觉逻辑相矛盾。

所以，我的问题是： p1 和 p2 都可以看作是 ￢￢a 的 Curry-Howard 通讯员吗？如果是这样，我们可以构造 p1 id :: a 的事实如何与直觉逻辑相互作用？

为了方便讨论，我想出了更清晰的转换编码to/from双重否定。感谢@user2407038！

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
to_double_neg :: forall a. a -> (forall r. (a->r)->r)
to_double_neg x = ($x)

from_double_neg :: forall a. (forall r. (a->r)->r) -> a
from_double_neg x = x id

Answer 1

你是正确的 (a -> r) -> r 是根据 Curry-Howard 同构的双重否定的正确编码。但是，您的功能类型不适合该类型！以下：

double_neg :: forall a r . ((a -> r) -> r)
double_neg = (() :: (Int -> r) -> r )

给出类型错误：

Couldn't match type `a' with `Int'
      `a' is a rigid type variable bound by
          the type signature for double_neg :: (a -> r) -> r at test.hs:20:22
    Expected type: (a -> r) -> r
      Actual type: (Int -> r) -> r
    Relevant bindings include
      double_neg :: (a -> r) -> r (bound at test.hs:21:1)

更多细节：如何编码底部并不重要。 agda 中的一个简短演示可以帮助展示这一点。假设只有一个公理——即 ex false quodlibet，字面意思是 "from false anything follows"。

record Double-Neg : Set₁ where
  field 
    ⊥ : Set
    absurd : {A : Set} → ⊥ → A

  ¬_ : Set → Set
  ¬ A = A → ⊥ 

  {-# NO_TERMINATION_CHECK #-}
  double-neg : { P : Set } → ¬ (¬ P) → P
  double-neg f = absurd r where r = f (λ _ → r)

请注意，如果不关闭终止检查器（这是作弊！），您将无法编写 double-neg 的有效定义。如果您再次尝试您的定义，您还会收到类型错误：

  data ⊤ : Set where t : ⊤

  double-neg : { P : Set } → ¬ (¬ P) → P
  double-neg {P} f = f t

给予

⊤ !=< (P → ⊥)
when checking that the expression t has type ¬ P

这里!=<表示"is not a subtype of".

Answer 2

构造一个 T1 a = forall r . (a -> r) -> r 类型的值至少与构造一个 T2 a = (a -> Void) -> Void 类型的值（例如 Void ~ forall a . a）一样苛刻。这很容易看出，因为如果我们可以构造一个 T1 a 类型的值，那么我们只需用 Void 实例化 forall 就可以自动获得一个 T2 a 类型的值。 =39=]

另一方面，如果我们有一个 T2 a 类型的值，我们就不能返回。下面出现一下就对了

dne :: forall a . ((a -> Void) -> Void) -> (forall r . (a -> r) -> r)
dne t2 = \f -> absurd (t2 (_ f)) -- we cannot fill _

但是 _ :: (a -> r) -> (a -> Void) 这个洞无法填补——我们都 "know" 在这种情况下对 r 一无所知，我们知道我们无法构建 Void.

这是另一个重要的区别：T1 a -> a 编码起来很简单，我们用 a 实例化 forall 然后应用 id

project :: T1 a -> a
project t1 = t1 id

但是，另一方面，我们不能为 T2 a

这样做

projectX :: T2 a -> a
projectX t2 = absurd (t2 (_ :: a -> Void))

或者，至少我们不能不欺骗我们的直觉逻辑。

所以，这些应该给我们一个提示，即 T1 和 T2 中的哪一个是真正的双重否定以及为什么使用每个。需要明确的是，T2 确实是双重否定——正如您所期望的那样——但是 T1 更容易处理……尤其是当您使用缺少空数据类型和更高数据类型的 Haskell98 时排名类型。没有这些，Void 的唯一 "valid" 编码是

newtype Void = Void Void

absurd :: Void -> a
absurd (Void v) = absurd v

如果您不需要，这可能不是最好的介绍。那么是什么确保我们可以使用 T1 呢？好吧，只要我们只考虑不允许使用特定类型变量实例化 r 的代码，那么我们实际上就好像它是一个没有操作的抽象或存在类型。这足以处理许多与双重否定（或延续）有关的论点，因此只谈论 forall r . (a -> r) -> r 的属性而不是 (a -> Void) -> Void 可能更简单，只要你保持适当的纪律，允许如果确实需要，您可以将前者转换为后者。

Answer 3

总而言之，p2/T2 方法更加规范，但我们无法从中计算出任何实用价值。另一方面，p1/T1 允许实例化 r，但实例化是执行 runCont :: Cont r a -> (a -> r) -> r 或 runContT 并从中获得任何结果和副作用所必需的。

但是，我们可以在 Control.Monad.Cont 中模拟 p2/T2，通过实例化 r 到 Void，并且只使用副作用，如下所示：

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
import Control.Monad.Cont
import Control.Monad.Trans (lift)
import Control.Monad.Writer

newtype Bottom = Bottom { unleash :: forall a. a}

type C = ContT Bottom
type M = C (Writer String)

data USD1G = USD1G deriving Show

say x = lift $ tell $ x ++ "\n"

runM :: M a -> String
runM m = execWriter $
  runContT m (const $ return undefined) >> return ()
-- Are we sure that (undefined :: Bottom) above will never be used?

exmid :: M (Either USD1G (USD1G -> M Bottom))
exmid = callCC f
  where
     f k = return (Right (\x -> k (Left x)))

useTheWish :: Either USD1G (USD1G -> M Bottom) -> M ()
useTheWish e = case e of
  Left money -> say $ "I got money:" ++ show money
  Right method -> do
    say "I will pay devil the money."
    unobtainium <- method USD1G
    say $ "I am now omnipotent! The answer to everything is:"
      ++ show (unleash unobtainium :: Integer)

theStory :: String
theStory = runM $ exmid >>= useTheWish

main :: IO ()
main = putStrLn theStory

{-
> runhaskell bottom-encoding-monad.hs
I will pay devil the money.
I got money:USD1G

-}

如果想进一步摆脱丑陋的undefined :: Bottom，我想我需要避免重新发明，使用管道和机器等CPS库。使用machines的例子如下：

{-# LANGUAGE RankNTypes, ImpredicativeTypes, ScopedTypeVariables #-}
import Data.Machine
import Data.Void
import Unsafe.Coerce

type M k a = Plan k String a
type PT k m a = PlanT k String m a

data USD = USD1G deriving (Show)

type Contract k m = Either USD (USD -> PT k m Void)

callCC :: forall a m k. ((a -> PT k m Void) -> PT k m a) -> PT k m a
callCC f = PlanT $
    \ kp ke kr kf ->
     runPlanT (f (\x -> PlanT $ \_ _ _ _ -> unsafeCoerce $kp x))
     kp ke kr kf

exmid ::  PT k m (Contract k m)
exmid = callCC f
  where
    f k =
       return $ Right (\x -> k (Left x))

planA :: Contract k m -> PT k m ()
planA e = case e of
  Left money ->
    yield $ "I got money: " ++ show money
  Right method -> do
    yield $ "I pay devil the money"
    u <- method USD1G
    yield $ "The answer to everything is :" ++ show (absurd u :: Integer)

helloMachine :: Monad m => SourceT m String
helloMachine = construct $ exmid >>= planA

main :: IO ()
main = do
  xs <- runT helloMachine
  print xs

感谢我们的谈话，现在我对 runPlanT 的类型签名有了更好的理解。

Curry-Howard 对应的是双重否定 ((a->r)->r) 还是 ((a->⊥)->⊥)？

Is Curry-Howard correspondent of double negation ((a->r)->r) or ((a->⊥)->⊥)?

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