了解 IEEE 中的指数 00000000 和 11111111
Understanding exponent 00000000 and 11111111 in IEEE
I can't get my head around these exponents:
- 为什么指数
0000 0000 = -126 而不是 -127（即 0 - 127）？
- 指数
1111 1111 的准确值是多少？
- 为什么
0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 等于无穷大？
I'm very new to all this, so please explain in simple lay terms! Thanks!
单精度浮点数的指数偏差为 127。这意味着指数值 127 (1000 0000) 被评估为实际指数零，指数值一 (0000 0001) 计算为 -126 的实际指数。
全零位或全一位（0000 0000 或 1111 1111）的指数值不是实际指数，而是触发特殊情况行为。全零指数意味着尾数中没有隐含的前导一位；这用于 subnormal numbers. And an all-one exponent is used to mark that the value is either infinity, negative infinity, or NaN，具体取决于符号位和尾数位。
进一步阅读，The Floating Point Guide has a nice explanation in easy terms, and of course if you really want the nitty-gritty, nothing beats Goldberg's paper。
Why is exponent 0000 0000 = -126 instead of -127 (i.e. 0 - 127)?
对于大多数正态指数，当我们到达有效数范围的底部时，我们会下降到下一个指数。例如，从1（含）到2（不含）的可表示数，从大到小依次为：
- 1.11…111 • 20,
- 1.11…110 • 20,
- 1.11…101 • 20,
- 1.11…100 • 20,
- …
- 1.00…011 • 20,
- 1.00…010 • 20,
- 1.00…001 • 20,
- 1.00…000 • 20.
然后，在下一个小数时，我们调整指数，所以下一个小数是：
- 1.11…111 • 2−1,
- 1.11…110 • 2−1,
- 1.11…101 • 2−1,
- 1.11…100 • 2−1,
- …
现在，当我们处于最低正常指数时，此范围内的最低数字是：
- 1.00…011 • 2−126,
- 1.00…010 • 2−126,
- 1.00…001 • 2−126,
- 1.00…000 • 2−126.
为了在这一点上继续下去，决定最后一步是将前导位更改为 0 而不是 1。这里有一个选择：指数字段中为零的数字可以继续模式，继续到指数 −127，因此下一个可表示的数字将是 1.11…111 • 2−127，或者它们可以坚持指数 −126，但将前导位改为 0共 1 个
如果模式继续，那么，例如，1.11…111 • 2−127 和 1.11…110 • 2−127 都是可表示的数字，但它们的差值 0.00…001 • 2−127 = 1 • 2−150 将不可表示。因此，如果 x 和 y 是这些数字，则由于四舍五入（当四舍五入到最接近的可表示值时），它们的计算差 x-y 必须为 0。然而，有时人们会这样写代码：
if (x == y)
Handle special case.
else
Handle normal case with some calculation involving division by x-y.
所以继续指数模式到 −127 会破坏一些代码并导致浮点运算以不希望的方式运行。因此，我们决定打破这种模式，将指数保持在 −126，并将前导位设为 0 而不是 1。那么下一个可表示的数字是：
- 0.11…111 • 2−126,
- 0.11…110 • 2−126,
- 0.11…101 • 2−126,
- 0.11…100 • 2−126,
- …
- 0.00…011 • 2−126,
- 0.00…010 • 2−126,
- 0.00…001 • 2−126,
- 0.00…000 • 2−126.
你可以看到我们想要 0.11…111 • 2−126 就在 1.00…000 • 2−126 之后。如果它是 0.11…111 • 2−127，就会有一个间隙——这是它需要的一半大小。
What is the exact value of exponent 1111 1111?
当指数字段为1111 1111时，它不代表普通浮点格式的任何数字指数。指数字段中的值是特殊值（无穷大和 NaN）的代码。
Why does 0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 equal infinity?
这没有数学上的原因。无穷大不会产生于对有效数和指数进行的任何数学运算。刚刚决定指数字段1111 1111代表无穷大和NaN，当尾数字段全为零时，它代表无穷大，当尾数字段不全为零时，它代表NaN。
I can't get my head around these exponents:
- 为什么指数
0000 0000= -126 而不是 -127（即 0 - 127）？- 指数
1111 1111的准确值是多少？ - 为什么
0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000等于无穷大？
- 指数
I'm very new to all this, so please explain in simple lay terms! Thanks!
单精度浮点数的指数偏差为 127。这意味着指数值 127 (1000 0000) 被评估为实际指数零，指数值一 (0000 0001) 计算为 -126 的实际指数。
全零位或全一位（0000 0000 或 1111 1111）的指数值不是实际指数，而是触发特殊情况行为。全零指数意味着尾数中没有隐含的前导一位；这用于 subnormal numbers. And an all-one exponent is used to mark that the value is either infinity, negative infinity, or NaN，具体取决于符号位和尾数位。
进一步阅读，The Floating Point Guide has a nice explanation in easy terms, and of course if you really want the nitty-gritty, nothing beats Goldberg's paper。
Why is exponent
0000 0000= -126 instead of -127 (i.e. 0 - 127)?
对于大多数正态指数，当我们到达有效数范围的底部时，我们会下降到下一个指数。例如，从1（含）到2（不含）的可表示数，从大到小依次为：
- 1.11…111 • 20,
- 1.11…110 • 20,
- 1.11…101 • 20,
- 1.11…100 • 20,
- …
- 1.00…011 • 20,
- 1.00…010 • 20,
- 1.00…001 • 20,
- 1.00…000 • 20.
然后，在下一个小数时，我们调整指数，所以下一个小数是：
- 1.11…111 • 2−1,
- 1.11…110 • 2−1,
- 1.11…101 • 2−1,
- 1.11…100 • 2−1,
- …
现在，当我们处于最低正常指数时，此范围内的最低数字是：
- 1.00…011 • 2−126,
- 1.00…010 • 2−126,
- 1.00…001 • 2−126,
- 1.00…000 • 2−126.
为了在这一点上继续下去，决定最后一步是将前导位更改为 0 而不是 1。这里有一个选择：指数字段中为零的数字可以继续模式，继续到指数 −127，因此下一个可表示的数字将是 1.11…111 • 2−127，或者它们可以坚持指数 −126，但将前导位改为 0共 1 个
如果模式继续，那么，例如，1.11…111 • 2−127 和 1.11…110 • 2−127 都是可表示的数字，但它们的差值 0.00…001 • 2−127 = 1 • 2−150 将不可表示。因此，如果 x 和 y 是这些数字，则由于四舍五入（当四舍五入到最接近的可表示值时），它们的计算差 x-y 必须为 0。然而，有时人们会这样写代码：
if (x == y)
Handle special case.
else
Handle normal case with some calculation involving division by x-y.
所以继续指数模式到 −127 会破坏一些代码并导致浮点运算以不希望的方式运行。因此，我们决定打破这种模式，将指数保持在 −126，并将前导位设为 0 而不是 1。那么下一个可表示的数字是：
- 0.11…111 • 2−126,
- 0.11…110 • 2−126,
- 0.11…101 • 2−126,
- 0.11…100 • 2−126,
- …
- 0.00…011 • 2−126,
- 0.00…010 • 2−126,
- 0.00…001 • 2−126,
- 0.00…000 • 2−126.
你可以看到我们想要 0.11…111 • 2−126 就在 1.00…000 • 2−126 之后。如果它是 0.11…111 • 2−127，就会有一个间隙——这是它需要的一半大小。
What is the exact value of exponent 1111 1111?
当指数字段为1111 1111时，它不代表普通浮点格式的任何数字指数。指数字段中的值是特殊值（无穷大和 NaN）的代码。
Why does 0 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 000 equal infinity?
这没有数学上的原因。无穷大不会产生于对有效数和指数进行的任何数学运算。刚刚决定指数字段1111 1111代表无穷大和NaN，当尾数字段全为零时，它代表无穷大，当尾数字段不全为零时，它代表NaN。