为 SEAL 选择合适的参数并阐明一些数学运算
Choosing the suitable parameters for SEAL and clarifying some mathematical operations
A) 我无法理解这些设置之间的关系：
parms.set_poly_modulus("1x^2048 + 1");
parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(2048));
parms.set_plain_modulus(1 << 8);
和 SEAL manual 中的这个 table。
我特别感兴趣的是数字 54 以及它是如何根据 parms.set_poly_modulus("1x^2048 + 1") 和 parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(2048)) 计算的。
B) 我正在尝试为我的用例找到正确的参数。
假设我有 10000 个介于 -180 和 +180 之间的小数，我想使用 FractionalEncoder 对这些数字中的每一个进行编码。预制运算将是：减法、加法、乘法、平方和取幂。结果将保存在单独的 Ciphertext 变量中。
所以关于我的用例，最佳参数是什么：
n, q, t 在
parms.set_poly_modulus("1x^n + 1");
parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(q));
parms.set_plain_modulus(t);
a 和 seal::FractionalEncoder encoder(context.plain_modulus(), context.poly_modulus(), a, b, 2) 中的 b。我正在使用 a = 512 和 b = 128，这对我的用例来说太高了。
如果我的用例发生变化，我如何自己计算这些参数？
A) 在您的示例中，您使用的是维度为 2048 的多项式模数和系数模数的 128 位安全级别默认值。要准确了解该值是多少，请查看 SEAL/seal/util/globals.cpp。系数模数是 SmallModulus 个对象的向量，这些对象是正整数，表示 总 系数模数的最多 60 位因子。例如，对于您的参数，系数模数仅包含一个素数因子 0x3fffffff000001，但您会发现对于较大的参数，它可以包含更多因子。
安全级别取决于多项式模数的次数（越大安全性越高）和总系数模数的位长（越小安全性越高）。因此，对于固定的多项式模数，应该有提供固定安全级别的最大可接受系数模数。由于要知道系数模数的上限是多少并不容易，因此 SEAL 通过 coeff_modulus_128（以及 coeff_modulus_192 和 coeff_modulus_256 提供更高安全级别的默认值).在某些情况下，您可能希望使用比默认值更小的系数模数，但您永远不应该使用更大的系数模数，除非您真的知道自己在做什么（甚至可能不知道）。使用 Martin Albrecht 的 LWE 估计器获得 54 位的位长：https://bitbucket.org/malb/lwe-estimator.
B) 在这种情况下确定参数的典型工作流程是首先找出足够大的 plain_modulus 以便计算正确.如果您 运行 超出噪音预算，只需调整您的 coeff_modulus 直到它起作用。
找到足够大的 plain_modulus 后，尝试通过将其设置为最小值来优化 coeff_modulus，从而使您的噪声预算不为零。为简单起见，您可以尝试通过 coeff_modulus_128 获得的不同默认值。如果您真的非常关心性能，您可能需要手动选择 coeff_modulus 素数以真正找到有效的最小值。
接下来，选择您的 poly_modulus 足够大，以便您的总系数模数最多等于该 poly_modulus 度的默认值。
最后，您可能想要手动调整重新线性化中使用的 decomposition_bit_count。默认情况下，您应该使用值 60，这会导致更好的计算性能但更多的噪声增长。在某些情况下，您可能希望将其删除到例如30，如果您碰巧处于节省一些额外噪声预算的情况下，您可以切换到较小的加密参数。在大多数情况下，这种级别的微调是不必要的。
最终的最佳参数究竟是什么完全取决于您的计算，因此如果没有非常具体的细节，就不可能在这里给出直接的答案。
FractionalEncoder 的参数化是另一回事。我建议尝试不同的值，以了解这些选择如何影响准确性。 a=512, b=128 的选择有什么问题？
A) 我无法理解这些设置之间的关系：
parms.set_poly_modulus("1x^2048 + 1");
parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(2048));
parms.set_plain_modulus(1 << 8);
和 SEAL manual 中的这个 table。
我特别感兴趣的是数字 54 以及它是如何根据 parms.set_poly_modulus("1x^2048 + 1") 和 parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(2048)) 计算的。
B) 我正在尝试为我的用例找到正确的参数。
假设我有 10000 个介于 -180 和 +180 之间的小数，我想使用 FractionalEncoder 对这些数字中的每一个进行编码。预制运算将是：减法、加法、乘法、平方和取幂。结果将保存在单独的 Ciphertext 变量中。
所以关于我的用例，最佳参数是什么：
n, q, t在parms.set_poly_modulus("1x^n + 1"); parms.set_coeff_modulus(coeff_modulus_128(q)); parms.set_plain_modulus(t);a和seal::FractionalEncoder encoder(context.plain_modulus(), context.poly_modulus(), a, b, 2)中的b。我正在使用 a = 512 和 b = 128，这对我的用例来说太高了。
如果我的用例发生变化，我如何自己计算这些参数？
A) 在您的示例中，您使用的是维度为 2048 的多项式模数和系数模数的 128 位安全级别默认值。要准确了解该值是多少，请查看 SEAL/seal/util/globals.cpp。系数模数是 SmallModulus 个对象的向量，这些对象是正整数，表示 总 系数模数的最多 60 位因子。例如，对于您的参数，系数模数仅包含一个素数因子 0x3fffffff000001，但您会发现对于较大的参数，它可以包含更多因子。
安全级别取决于多项式模数的次数（越大安全性越高）和总系数模数的位长（越小安全性越高）。因此，对于固定的多项式模数，应该有提供固定安全级别的最大可接受系数模数。由于要知道系数模数的上限是多少并不容易，因此 SEAL 通过 coeff_modulus_128（以及 coeff_modulus_192 和 coeff_modulus_256 提供更高安全级别的默认值).在某些情况下，您可能希望使用比默认值更小的系数模数，但您永远不应该使用更大的系数模数，除非您真的知道自己在做什么（甚至可能不知道）。使用 Martin Albrecht 的 LWE 估计器获得 54 位的位长：https://bitbucket.org/malb/lwe-estimator.
B) 在这种情况下确定参数的典型工作流程是首先找出足够大的 plain_modulus 以便计算正确.如果您 运行 超出噪音预算，只需调整您的 coeff_modulus 直到它起作用。
找到足够大的 plain_modulus 后，尝试通过将其设置为最小值来优化 coeff_modulus，从而使您的噪声预算不为零。为简单起见，您可以尝试通过 coeff_modulus_128 获得的不同默认值。如果您真的非常关心性能，您可能需要手动选择 coeff_modulus 素数以真正找到有效的最小值。
接下来，选择您的 poly_modulus 足够大，以便您的总系数模数最多等于该 poly_modulus 度的默认值。
最后，您可能想要手动调整重新线性化中使用的 decomposition_bit_count。默认情况下，您应该使用值 60，这会导致更好的计算性能但更多的噪声增长。在某些情况下，您可能希望将其删除到例如30，如果您碰巧处于节省一些额外噪声预算的情况下，您可以切换到较小的加密参数。在大多数情况下，这种级别的微调是不必要的。
最终的最佳参数究竟是什么完全取决于您的计算，因此如果没有非常具体的细节，就不可能在这里给出直接的答案。
FractionalEncoder 的参数化是另一回事。我建议尝试不同的值，以了解这些选择如何影响准确性。 a=512, b=128 的选择有什么问题？