使用特征值求解线性方程组

Question

我目前正在使用 C++ 进行流体模拟，该算法的一部分是求解稀疏线性方程组。人们建议为此使用库 Eigen。我决定使用我编写的这个短程序对其进行测试：

#include <Eigen/SparseCholesky>

#include <vector>
#include <iostream>

int main() {
    std::vector<Eigen::Triplet<double>> triplets;
    triplets.push_back(Eigen::Triplet<double>(0, 0, 1));
    triplets.push_back(Eigen::Triplet<double>(0, 1, -2));
    triplets.push_back(Eigen::Triplet<double>(1, 0, 3));
    triplets.push_back(Eigen::Triplet<double>(1, 1, -2));

    Eigen::SparseMatrix<double> A(2, 2);
    A.setFromTriplets(triplets.begin(), triplets.end());

    Eigen::VectorXd b(2);
    b[0] = -2;
    b[1] = 2;

    Eigen::SimplicialCholesky<Eigen::SparseMatrix<double>> chol(A);
    Eigen::VectorXd x = chol.solve(b);

    std::cout << x[0] << ' ' << x[1] << std::endl;

    system("pause");
}

它给出了这两个等式：

x - 2y = -2

3x - 2y = 2

正确的解法是：

x = 2

y = 2

但问题是程序运行时，输出： 0.181818 -0.727273

这是完全错误的！我已经调试了几个小时，但它是一个非常短的程序，我完全按照 Eigen 网站上的教程进行操作。有人知道是什么导致了这个问题吗？

P.S。我知道我使用的类用于稀疏矩阵，但它们与普通矩阵类的唯一区别是元素的存储方式。

Answer 1

SimplicialCholesky 用于对称正定 (SPD) 矩阵，您组装的矩阵甚至不对称。默认情况下它只读取下三角部分的条目而忽略其他部分，所以它解决了：

x + 3y = -2
3x -2y = 2

如您所见，对于非对称平方问题，您需要在迭代求解器的世界中使用基于 LU 或 BICGSTAB 的直接求解器。 doc.

中总结了所有这些

Answer 2

您应该使用能够处理非对称稀疏矩阵的求解器。另一种可能的方法是寻求不是原始系统 [A]x=b 而是 [A]T*[A]x=[A]T*b 的解决方案，其中 [A]T 代表 [A] 转置.后一个系统的矩阵是对称且正定的（只要 [A] 是非奇异的）。唯一的缺点是 [A]T[A] 如果原来的 [A] 在这个意义上不是 "good"，则可能相当病态。只是旨在解决此类问题的软件示例： http://members.ozemail.com.au/~comecau/CMA_LS_Sparse.htm

使用特征值求解线性方程组

Solving Systems of Linear Equations using Eigen

c++

linear-algebra

eigen