可以表示为浮点数的最大奇数

Question

我想知道可以精确表示为浮点数的最大奇数是多少？以及为什么在这种情况下表示为浮点数的最大偶数之间存在差异。

我认为这与以 2 为底的指数 2^n-1 有关，但是我对 C 中的数据表示不够熟悉，看不出区别。

Answer 1

对于IEEE-754基本32位二进制浮点数，最大可表示的奇整数为2²⁴−1.

对于IEEE-754基本64位二进制浮点数，最大可表示的奇整数为2⁵³−1.

这是因为格式有 24 位和 53 位有效数字。（有效数是浮点数的小数部分。）

有效位数中的位表示的值是按照浮点数的指数进行缩放的。为了表示奇数，浮点数必须在尾数中有一位表示2⁰。对于 24 位有效数，如果最低位表示 2⁰，则最高位表示 2²³。当所有位都为on时取最大值，使得值为2⁰ + 2¹ + 2² + … 2²³，等于 2²⁴−1.

更一般地说，可表示的最大奇数通常是 scalbnf(1, FLT_MANT_DIG) - 1。这也可以计算为 (2 - FLT_EPSILON) / FLT_EPSILON。（这里假设正常情况下 FLT_RADIX 是偶数，FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP。注意，如果 FLT_MANT_DIG == FLT_MAX_EXP，应使用后一个表达式，FLT_EPSILON，因为前者溢出.)

异常情况，仅供参考：

如果 FLT_RADIX 是奇数并且 FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP，如果 FLT_MANT_DIG 是奇数并且 FLT_MAX - scalbnf(FLT_EPSILON, FLT_MAX_EXP+1) 否则最大可表示的奇数是 FLT_MAX。
如果FLT_RADIX是偶数且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，那么：如果FLT_MAX_EXP > 0，最大可表示的奇数是floorf(FLT_MAX)。否则，没有奇数是可表示的。
如果FLT_RADIX是奇数且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，则：如果FLT_MAX_EXP > 0，最大可表示的奇数整数是floorf(FLT_MAX) 如果FLT_MANT_DIG - FLT_MAX_EXP是奇数或floorf(FLT_MAX)-1 否则。否则，没有奇数是可表示的。

Answer 2

可表示为 32 位浮点数的最大奇整数是 2^24 - 1。

更具体地说，一个 32 位浮点数可以精确表示以下整数：

2^24 以内的所有整数
2^25 以内的所有偶数
4 的所有倍数直到 2^26
8 的所有倍数直到 2^27
等等

换句话说，这里是可以精确表示的整数：

0
1
2
...
16777215
16777216 (= 2^24)
16777218
16777220
...
33554430
33554432 (= 2^25)
33554436
33554440
...
67108860
67108864 (= 2^26)
67108872
67108880
...

请注意，这对正整数和负整数都适用，例如，可以精确表示小至 -2^24 的所有负整数。

下面是一些 C++ 代码，对 2^24、2^25 和 2^26 左右的整数进行整数到浮点数的转换，以在实践中看到这一点。

Live on Coliru

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>

int main()
{
    int _2pow24 = 1 << 24;
    int _2pow25 = 1 << 25;
    int _2pow26 = 1 << 26;
    std::cout << "2^24 = " << _2pow24 << std::endl;
    std::cout << "2^25 = " << _2pow25 << std::endl;
    std::cout << "2^26 = " << _2pow26 << std::endl;
    std::vector<int> v;
    for (int i = -4; i < 4; ++i) v.push_back(_2pow24 + i);
    for (int i = -8; i < 8; ++i) v.push_back(_2pow25 + i);
    for (int i = -16; i < 16; ++i) v.push_back(_2pow26 + i);
    for (int i : v) {
        std::cout << i << " -> "
                  << std::fixed << std::setprecision(1)
                  << static_cast<float>(i)
                  << std::endl;
    }
    return 0;
}

输出：

2^24 = 16777216
2^25 = 33554432
2^26 = 67108864
16777212 -> 16777212.0
16777213 -> 16777213.0
16777214 -> 16777214.0
16777215 -> 16777215.0
16777216 -> 16777216.0
16777217 -> 16777216.0
16777218 -> 16777218.0
16777219 -> 16777220.0
33554424 -> 33554424.0
33554425 -> 33554424.0
33554426 -> 33554426.0
33554427 -> 33554428.0
33554428 -> 33554428.0
33554429 -> 33554428.0
33554430 -> 33554430.0
33554431 -> 33554432.0
33554432 -> 33554432.0
33554433 -> 33554432.0
33554434 -> 33554432.0
33554435 -> 33554436.0
33554436 -> 33554436.0
33554437 -> 33554436.0
33554438 -> 33554440.0
33554439 -> 33554440.0
67108848 -> 67108848.0
67108849 -> 67108848.0
67108850 -> 67108848.0
67108851 -> 67108852.0
67108852 -> 67108852.0
67108853 -> 67108852.0
67108854 -> 67108856.0
67108855 -> 67108856.0
67108856 -> 67108856.0
67108857 -> 67108856.0
67108858 -> 67108856.0
67108859 -> 67108860.0
67108860 -> 67108860.0
67108861 -> 67108860.0
67108862 -> 67108864.0
67108863 -> 67108864.0
67108864 -> 67108864.0
67108865 -> 67108864.0
67108866 -> 67108864.0
67108867 -> 67108864.0
67108868 -> 67108864.0
67108869 -> 67108872.0
67108870 -> 67108872.0
67108871 -> 67108872.0
67108872 -> 67108872.0
67108873 -> 67108872.0
67108874 -> 67108872.0
67108875 -> 67108872.0
67108876 -> 67108880.0
67108877 -> 67108880.0
67108878 -> 67108880.0
67108879 -> 67108880.0

可以表示为浮点数的最大奇数

Largest odd integer that can be represented as a float

c

floating-point

bit

ieee-754

data-representation