精确龙格-库塔系数
Exact Runge-Kutta coefficients
当使用数值方法时（例如 Runge-Kutta），计算机上浮点数的有限精度会影响解决方案（布劳威尔定律）。
在this paper中，它建议作为一种补救措施来模拟精确的龙格-库塔系数，例如A = B + C 其中 B 是精确的机器编号，C 是一些小的修正
有人可以解释一下这在实践中是如何工作的吗？例如。如果A = 3/10，那么如何确定B和C？
感谢您的帮助。
在论文中，他们建议使用分母为 1024 的 A 的有理近似值。
（这意味着 A 最多有 10 个有效的非零位）。你有 (3/10)*1024 = 307.2，所以 B 将是
B=307/1024 = 0.2998046875 和 C = A - B = 0.0001953125
C 不能完全表示为 IEEE Binary64，最接近的浮点数将是
C = 1.9531249999998889776975374843...E-4.
将这些值插入公式 (3.1f)
这个技巧在 2007 年论文提交时可能奏效，但我认为它不太可能在现代平台上奏效。
在现代 x86（32 位和 64 位）处理器上，有两个独立的浮点计算指令集：
较旧的 x87 指令（可追溯到最初的 8087 协处理器），它具有 80 位寄存器
更新的 SSE 指令，它使用与格式相同宽度的寄存器（float 为 32 位，double 为 64 位）。
较新的 SSE 指令通常是现代编译器的首选，因为它们往往更快，因为它们可以完全流水线化，并且支持 SIMD 操作等奇特的东西。然而在 2007 年，一些编译器仍然默认只使用 x87 指令，因为二进制文件可以在旧机器上使用（这在 32 位机器上尤其如此）。
80 位寄存器支持最多 64 位的有效位，比 64 位的 53 位有效位多 11 位double。这个想法是你可以潜在地减少中间舍入误差，在这种情况下你可以利用它。
考虑他们问题的一个更简单的版本：计算
Y = A*X
按照他们的建议将 A 拆分为 B+C，B 只有 10 个有效位。然后运行
B*X
不会产生任何舍入错误，因为它最多有 63 个有效位。完整计算
Y = B*X + C*X
因此将为您提供几乎完整的 64 位精度的结果。
如果没有扩展精度，B*X 通常会产生与直接计算 A*X 大致相同大小的舍入误差（除非 X 本身已使用 reduce 存储精度）。
这听起来不错：您可能想知道为什么 SSE 指令去掉了这个？不幸的是，它是不可预测的：在某些情况下，编译器会安排它以便它可以工作，但在其他情况下，它需要 "spill" 寄存器到内存，在这种情况下你会失去这个额外的精度。这反过来有时会产生奇怪的结果，例如 x+y == x+y 等操作评估为 false，具体取决于评估各个操作的时间。
但是，并非一无所有！如果你有一台相当新的机器，你可以利用 fused multiply-add (fma) 操作来提高准确性。在这种情况下，它看起来像
Y = fma(B,X,C*X)
当使用数值方法时（例如 Runge-Kutta），计算机上浮点数的有限精度会影响解决方案（布劳威尔定律）。
在this paper中，它建议作为一种补救措施来模拟精确的龙格-库塔系数，例如A = B + C 其中 B 是精确的机器编号，C 是一些小的修正
有人可以解释一下这在实践中是如何工作的吗？例如。如果A = 3/10，那么如何确定B和C？
感谢您的帮助。
在论文中，他们建议使用分母为 1024 的 A 的有理近似值。 （这意味着 A 最多有 10 个有效的非零位）。你有 (3/10)*1024 = 307.2，所以 B 将是
B=307/1024 = 0.2998046875 和 C = A - B = 0.0001953125
C 不能完全表示为 IEEE Binary64，最接近的浮点数将是
C = 1.9531249999998889776975374843...E-4.
将这些值插入公式 (3.1f)
这个技巧在 2007 年论文提交时可能奏效，但我认为它不太可能在现代平台上奏效。
在现代 x86（32 位和 64 位）处理器上，有两个独立的浮点计算指令集：
较旧的 x87 指令（可追溯到最初的 8087 协处理器），它具有 80 位寄存器
更新的 SSE 指令，它使用与格式相同宽度的寄存器（
float为 32 位，double为 64 位）。
较新的 SSE 指令通常是现代编译器的首选，因为它们往往更快，因为它们可以完全流水线化，并且支持 SIMD 操作等奇特的东西。然而在 2007 年，一些编译器仍然默认只使用 x87 指令，因为二进制文件可以在旧机器上使用（这在 32 位机器上尤其如此）。
80 位寄存器支持最多 64 位的有效位，比 64 位的 53 位有效位多 11 位double。这个想法是你可以潜在地减少中间舍入误差，在这种情况下你可以利用它。
考虑他们问题的一个更简单的版本：计算
Y = A*X
按照他们的建议将 A 拆分为 B+C，B 只有 10 个有效位。然后运行
B*X
不会产生任何舍入错误，因为它最多有 63 个有效位。完整计算
Y = B*X + C*X
因此将为您提供几乎完整的 64 位精度的结果。
如果没有扩展精度，B*X 通常会产生与直接计算 A*X 大致相同大小的舍入误差（除非 X 本身已使用 reduce 存储精度）。
这听起来不错：您可能想知道为什么 SSE 指令去掉了这个？不幸的是，它是不可预测的：在某些情况下，编译器会安排它以便它可以工作，但在其他情况下，它需要 "spill" 寄存器到内存，在这种情况下你会失去这个额外的精度。这反过来有时会产生奇怪的结果，例如 x+y == x+y 等操作评估为 false，具体取决于评估各个操作的时间。
但是，并非一无所有！如果你有一台相当新的机器，你可以利用 fused multiply-add (fma) 操作来提高准确性。在这种情况下，它看起来像
Y = fma(B,X,C*X)