查找欠定线性系统中哪些变量是自由的

Question

我有一个欠定的线性方程组。例如，这可以通过 SimPy 解决，其中解决方案是一些自由变量的函数。我正在寻找的是那些自由变量。这组变量不是唯一的，但一个选项就足够了。例如

[1  0  1] [x1] = [1]
[0  1  0] [x2] = [1]
          [x3]

这里，x2由第二个方程决定，x1或x3都可以作为自由变量。因此，例如集合 {x1} 是我的问题

的有效解决方案

找到它的一种方法是使用 SymPy 并解析解决方案以查找其中使用了哪些变量。这比较麻烦。有更好的方法吗？最好没有任何符号计算（返回自由变量的索引）。

这里问了同样的问题，但没有回答，因为原来提问者想问别的问题：How to determine which one is free variable in the result of sympy.linsolve

他只是想要一个单一的系统解决方案。我想知道自由变量，甚至不需要知道解决方案。

Answer 1

这与类似，不同之处在于您要求的是自由变量，这些变量对应于我们为列 space 选择基础后剩余的列。因此，集合差异将一个问题减少到另一个问题。这是一个矩阵稍微复杂的例子：

import numpy as np
from scipy.linalg import lu
M = np.array([[1, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 7, 0]])
U = lu(M)[2]
basis_columns = {np.flatnonzero(U[i, :])[0] for i in range(U.shape[0])}
free_variables = set(range(U.shape[1])) - basis_columns

答案：{1, 3}。

注意：所有这些都对浮点错误很敏感，因此如果您在输入中有精确的有理数并希望原样保留它们，SymPy 仍然是首选。

Answer 2

不确定这是否准确，但我认为自由变量是 echelon form 中非关键元素的系数不为零的任何变量，以及它描述的变量。

查找欠定线性系统中哪些变量是自由的

Find which variables are free in underdetermined linear system

python

numpy

linear-algebra

sympy

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