如何在 Prolog 中实现 Peano 数求幂？

Question

我正在尝试使用下面的代码实现求幂，但是像 2^1 (ex(s(s(0)), s(0), Z).) 这样的简单查询永远挂起。

nat(0).
nat(s(X)) :- nat(X).
su(0, X, X) :- nat(X).
su(s(X), Y, s(Z)) :- su(X, Y, Z).

mu(0, _, 0).
mu(s(X), Y, Z) :- su(Y, A, Z), mu(X, Y, A).

ex(_, 0, s(0)).
ex(X, s(Y), Z) :- mu(X, A, Z), ex(X, Y, A).

Answer 1

据我所知，它效率不高，因为 mu/3 是用 two 个自由变量调用的。确实：

ex(X, s(Y), <b>Z</b>) :- mu(X, <b>A</b>, <b>Z</b>), ex(X, Y, A).

当时 A 和 Z 未知（我已将它们标为粗体）。

现在您的 mu/2 无法正确处理此问题。如果我们用 mu(s(0), A, Z) 查询 mu/3，我们得到：

?- mu(s(0), A, Z).
A = Z, Z = 0 ;
ERROR: Out of global stack

所以它也陷入了无限递归。

这是因为它会采用mu/3的第二个子句，并且：

mu(s(X), <b>Y</b>, <b>Z</b>) :- su(<b>Y</b>, <b>A</b>, <b>Z</b>), mu(X, Y, A).

所以 su/3 是用三个未知变量调用的。这样做的效果是 su/3 可以继续提议值 "until the end of times":

?- su(A, B, C).
A = B, B = C, C = 0 ;
A = 0,
B = C, C = s(0) ;
A = 0,
B = C, C = s(s(0)) ;
A = 0,
...

即使递归 mu(X, Y, A) 拒绝所有这些提议，su/3 也永远不会停止提出新的解决方案。

因此，当我们为 mu/3 和 ex/3.

设计谓词时，最好记住这一点

例如，我们可以在此处使用 累加器 来累加值，并 returns 最终产品。这样做的好处是，我们在进行 su/3 调用时使用真实值，例如：

mu(A, B, C) :-
    mu(A, B, 0, C).

mu(0, _, 0, S, S).
mu(s(X), Y, I, Z) :-
    su(Y, I, J),
    mu(X, Y, J, Z).

现在如果我们输入 mu/3 并且只固定第一个参数，我们会看到：

?- mu(s(0), X, Y).
X = Y, Y = 0 ;
X = Y, Y = s(0) ;
X = Y, Y = s(s(0)) ;
X = Y, Y = s(s(s(0))) ;
...
?- mu(s(s(0)), X, Y).
X = Y, Y = 0 ;
X = s(0),
Y = s(s(0)) ;
X = s(s(0)),
Y = s(s(s(s(0)))) ;
X = s(s(s(0))),
Y = s(s(s(s(s(s(0)))))) ;
...
...

所以这意味着我们现在至少不会陷入 mu/3 只有第一个参数固定的循环。

我们可以使用相同的策略来定义一个 ex/3 谓词：

ex(X, Y, Z) :-
    ex(X, Y, s(0), Z).

ex(X, 0, Z, Z).
ex(X, s(Y), I, Z) :-
    mu(X, I, J),
    ex(X, Y, J, Z).

然后我们设法计算指数，如 2¹ 和 2²:

?- ex(s(s(0)), s(0), Z).
Z = s(s(0)) ;
false.
?- ex(s(s(0)), s(s(0)), Z).
Z = s(s(s(s(0)))) ;
false.

请注意，上面仍然存在一些缺陷，例如计算值为4的幂仍然会循环：

?- ex(X, Y, s(s(s(s(0))))).
ERROR: Out of global stack

通过重写谓词，我们也可以避免这种情况。但我把它留作练习。

如何在 Prolog 中实现 Peano 数求幂？

How to implement Peano numbers exponentiation in Prolog?

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