使用 python 逼近导数

Question

我试图解决以下问题。我尝试首先使用 0.1 设置步长 h 来解决它。但是我需要在我的代码中更改它并使用 for 循环遍历值 0,1,..,20。我有点困惑如何解决这个问题，但我希望能得到一些帮助来修复我到目前为止生成的代码。谢谢！

import numpy as np
from math import sin

def derivative(func , x, h ):
    for h in range(20):
    return (func(x+h)-func(x))/h

def f(x):
    return sin(x)

print(derivative(f, pi/4))

给出输出

0.6706029729039897

我的编辑：

def derivative(func , x, h ):
    for h in range(20):
    return (func(x+h)-func(x))/h

Answer 1

该练习要求您使用不同的精度（使用变量 h 表示）计算导数，并将其与函数的 exact/real 导数进行比较。

令 h = 10 ^ -j，其中 j 从 0 到 20 不等。这意味着 h 将（离散地）从 10⁻⁰ 到 10⁻²⁰。您可以为此使用 for 循环和 range(...) 函数。然后将其传递给 derivative 函数（您可以将第三个参数传递给 h 的值）

def derivative(func, x, h):
    return (func(x + h) - func(x)) / h

接下来，您需要将其与 exact 导数进行比较。函数 f(x) = sin(x) 有一个已知的（精确的）导数，即 cos(x)。在数学符号中，d(sin x)/dx = cos x。这意味着对于任何 x，cos(x) 都会为您提供 sin 在 x 处的精确导数。

所以你需要比较derivative(...)函数的结果和cos(x)的值。这会给你带来不同。然后，您可以使用基本的 Python 函数 abs(x) 来获取该差值的绝对值，这将为您提供绝对差值，这就是您想要的结果。对从 0 到 20 的每个 j 执行此操作，并将结果存储在某个地方，数组或字典中。

from math import sin, cos, pi

x = pi / 4
diffs = {}

for j in range(21): # range is exclusive so range(21) will stop at 20
    h = 10 ** -j
    deriv = derivative(sin, x, h)
    exact = cos(x)
    diff = abs(deriv - exact)
    diffs[h] = diff

然后，您可以使用 pyplot 的 loglog 函数在图表上绘制这些结果，将 range(...) 结果作为 X 传递，将包含结果的数组作为 Y 传递。

import matplotlib.pyplot as plt

ordered = sorted(diffs.items())
x, y = zip(*ordered)
plt.loglog(x, y)

使用 python 逼近导数

Approximating derivatives using python

python

graph

numerical-methods

derivative