超越方程的牛顿法

Question

超越方程： tan(x)/x + b = 0，其中 b 是任何实数。我需要引入n并给我这个方程的n个解

我的代码（Python）：

    from math import tan, cos, pi, sqrt, sin,exp
    import numpy as np 
    from matplotlib.figure import Figure
    import matplotlib.pyplot as plt

    def f(x,b):
        return tan(x)/x + b

    def f1(x,b):
        return (x/(cos(x)*cos(x)) - tan(x))/(x**2)

    e = 0.00000000001

    def newtons_method(x0, f, f1, e):
        x0 = float(x0)
        while True:
            x1 = x0 - (f(x0,b) / f1(x0,b))
            if abs(x1 - x0) < e:
                return x1
            x0 = x1

    result = []
    n = int(input("Input n: "))
    b = float(input("Input b: "))
    for i in range(2,4*n,1):
        result.append(newtons_method(i, f , f1, e))
    lambda_result = sorted(list(set(result)))
    print(len(lambda_result))

我用 1.The 步更改初始近似值，根以 ~pi 为周期重复，因此第二个参数为 4*n。我通过集合排除重复的解决方案。如果 n 是 50 那么他只能找到 18 个解。需要修复什么才能使其正常工作？请帮助我。

Answer 1

在您的交叉post https://math.stackexchange.com/q/2942400/115115中，Yves Daoust 强烈建议您将牛顿法基于函数

f(x)=sin(x) + b*x*cos(x)

或

f(x)=sin(x)/x + b*cos(x)

因为这些函数没有极点或其他奇点（如果 x 不接近 0）。

至少对于大 c，解接近初始值 (i+0.5)*pi for i in range(n)。结果不需要排序或缩短结果。

人们可以在余弦的根处使用正弦项具有交替符号。这使得应用 括号法 的完美情况如 regula falsi (illinois), Dekker's fzeroin, Brent's method,...这些方法几乎与牛顿法一样快，并且保证在区间内找到根。

唯一复杂的是区间 (0,pi/2)，因为 b<-1 将有一个非零根。必须从 x=0 中删除寻根过程，这对于接近 -1.

的 b 来说非常重要

牛顿法 只有当初始点离根足够近时，才能可靠地使根为零。如果点离得更远，接近函数的极值，则切线的根可能离得很远。因此，要成功应用牛顿法，需要从一开始就找到好的根近似值。为此，可以使用全局收敛的定点迭代或所考虑函数的结构简单的近似值。

使用收缩不动点迭代：k*pi附近的解也是等价方程x+arctan(b*x)=k*pi的根。这给出了近似解x=g(k*pi)=k*pi-arctan(b*k*pi)。由于弧切线即使对于小 k 也相当平坦，这给出了一个很好的近似值。
如果b<-1 k=0 有一个正根，即在区间(0,pi/2) 内。之前的方法在这种情况下不起作用，因为弧切线在此区间内有一个围绕 1 的斜率。根是由于方程的高阶非线性项，因此需要方程的一种等效形式的非线性近似。近似 tan(x)=x/(1-(2*x/pi)^2) 在 +-pi/2 处给出相同的极点并且两者之间足够接近。将此近似值代入给定方程式并求解得到初始根近似值 x=pi/2*sqrt(1+1/b).

在实现中，必须移动 b<-1 的根集以包含附加的第一个解决方案。

from math import tan, cos, pi, sqrt, sin, atan

def f(x,b):
    return sin(x)/x+b*cos(x)

def f1(x,b):
    return cos(x)/x-(b+x**-2)*sin(x)

e = 1e-12

def newtons_method(x0, f, f1, e):
    x0 = float(x0)
    while True:
        x1 = x0 - (f(x0,b) / f1(x0,b))
        if abs(x1 - x0) < e:
            return x1
        x0 = x1

result = []
n = int(input("Input n: "))
b = float(input("Input b: "))
for i in range(n):
    k=i; 
    if b >= -1: k=k+1
    x0 = pi/2*sqrt(1+1/b) if k==0 else  k*pi-atan(b*k*pi)
    result.append(newtons_method(x0, f , f1, e))
lambda_result = sorted(list(set(result)))
print(len(result), len(lambda_result))

超越方程的牛顿法

Newton method for transcendental equation

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