具有一般指数的 OpenGL ES GLSL Mandelbrot

Question

我已经在 GLSL(OpenGL ES) 上成功地实现了几个分形，但是我似乎对 Mandelbrot 集的变化毫无进展，其中指数是任意正数。

我正在复数极坐标中求幂，但是算法某处有误，至于 exponent = 2 出现了不同于经典 Mandelbrot 集的其他东西。

当前代码如下：

precision mediump float;

uniform sampler2D palette;
uniform float centerX;
uniform float centerY;
uniform float scale;
uniform float iterations;
uniform vec2 resolution;
uniform float exponent;
#define maxiter 65535

vec2 cplx_polar(vec2 z) {
    return vec2(length(z), atan(z.y,z.x));
}

vec2 cplx_polar_add(vec2 z1, vec2 z2) {
    //https://math.stackexchange.com/a/1365938
    return vec2(sqrt(z1.x*z1.x + z2.x*z2.x + 2.*z1.x*z2.x*cos(z2.y-z1.y)),
    z1.y+atan(z2.x*sin(z2.y-z1.y),(z1.x+z2.x*cos(z2.y-z1.y))));
}

vec2 exponentiate(vec2 z) {
    return pow(z.x, exponent)* vec2(cos(z.y), sin(z.y));
}

void main() {
    vec2 center = vec2(centerX, centerY);
    vec2 coord = vec2(gl_FragCoord.x, gl_FragCoord.y) / resolution;
    vec2 c = cplx_polar((coord - center) / scale);
    int j = 0;
    vec2 z = c;
    for(int i = 0; i<maxiter; i++) {
        if (float(i) >= iterations) break;
        j++;
        vec2 znew = cplx_polar_add(exponentiate(z), c);
        if(znew.x > 2.0) break;
        z = znew;
    }
    gl_FragColor = texture2D(palette, vec2((j == int(iterations) ? 0.0 : float(j)) / iterations, 0.5));
}

main 函数中一定有错误，因为对于没有极坐标的简单 z = z ^ 2 + c 基本相同。指数 = 2 的生成图像看起来像

虽然它应该看起来像

我很茫然。这可能是微不足道的事情。如果有任何建议，我将不胜感激。

Answer 1

我不确定将极坐标计算用于如此简单的交互计算，这对我来说似乎有点过分了。这是一个使用源自我的 FractalCanvas 应用程序的笛卡尔数学的解决方案。

Java中的简单表达式是 pow(double f) { return log().times(f).exp(); }.

我不认识你使用的语言，但这可以提供一些想法。

public vec2 pow(vec2 z, double f) {
    // log()
    double d = Math.log(Math.sqrt(z.x * z.x + z.y * z.y));
    z.x = Math.atan2(z.y, z.x);
    z.y = d;
    // times(f)
    z.x *= f;
    z.y *= f;
    // exp()
    double exp = Math.exp(z.x);
    z.x = Math.cos(z.y) * exp;
    z.y = Math.sin(z.y) * exp;
    return z;
}

顺便说一句，我严重建议您不要在迭代循环的中间创建对象。创建和销毁它们需要有限的时间，并且循环可能运行数十亿次来计算图像。当我从我的应用程序中删除此类创作时，我注意到速度有了显着提高。

具有一般指数的 OpenGL ES GLSL Mandelbrot

OpenGL ES GLSL Mandelbrot with general exponent

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