为什么要弄清楚一种语言的基数是否是有限的 "decidable" 问题？
Why is figuring out if the cardinality of a language is not finite a "decidable" problem?
给定两种有限状态语言 L1 和 L2，然后确定它们的交集不是有限的是一个可判定的问题。
怎么会这样？谢谢
设 M1 和 M2 是最小确定性有限自动机，其接受的语言分别是 L1 和 L2。
首先，构造一个确定性有限自动机 M3，其接受的语言是 L1 和 L2 的交集，方法是使用笛卡尔积机器构造 - 一种生成所需机器的算法。
接下来，构造一个确定性有限自动机M4，它接受与M3相同的语言，但它是最小的；即最小化 M3 并将结果称为 M4。有一种算法可以产生这个结果。
接下来，构造一个确定性有限自动机M5，它只接受长度严格大于k 的单词，其中k 是M4 中的状态数。对于任何字母表，都有这样一个具有 k+1 个状态的机器；它的构造并不复杂。
接下来构造一个确定性有限自动机M6，其接受的语言是M4和M5接受的语言的交集。在这里再次使用笛卡尔积机构造。
接下来，通过最小化M6构造一个确定性有限自动机M7。
此时，要么 M6 是一个确定性有限自动机，其状态完全不接受任何字符串，要么不接受。在前一种情况下，L1 和 L2 的交集是有限的；在后一种情况下，该交叉点是无限的。为什么？
- M1 接受 L1
- M2 接受 L2
- M3接受L1与L2相交
- M4 是一个 DFA，接受 L1 与 L2 相交并且状态尽可能少
- M5 只接受会导致 M4 两次进入其状态之一的单词
- M6 只接受 L1 中与 L2 相交的单词，这也会导致 M4 两次进入其状态之一。请注意，如果 M6 接受任何内容，则意味着 L1 中有单词与 L2 相交，该语言的最小 DFA 必须循环接受这些单词；因为这样的循环可以进行任意次，这意味着 L1 中必须有无限多个单词与 L2 相交。这与常规语言的泵引理密切相关。
- M7 接受 M6 所做的，但是是最小的。请注意，最小化不是必需的，但它使检查 M6 是否接受任何东西变得微不足道。不接受字符串的最小 DFA 有一个死状态。这很容易检查，并且有标准的最小化算法。
显示相同事物的另一种类似方式是说您可以为交集构造 DFA，然后检查所有长度为 |Q| 的字符串。至 |2Q|。没有一种有限语言会具有 DFA 为该语言接受的任何这些长度的字符串，但每一种无限语言都会至少有一个这样的字符串。这是因为任何接受无限语言的 DFA 都必须循环，并且该循环的长度必须不大于状态数。
给定两种有限状态语言 L1 和 L2，然后确定它们的交集不是有限的是一个可判定的问题。
怎么会这样？谢谢
设 M1 和 M2 是最小确定性有限自动机，其接受的语言分别是 L1 和 L2。
首先，构造一个确定性有限自动机 M3，其接受的语言是 L1 和 L2 的交集，方法是使用笛卡尔积机器构造 - 一种生成所需机器的算法。
接下来，构造一个确定性有限自动机M4，它接受与M3相同的语言，但它是最小的；即最小化 M3 并将结果称为 M4。有一种算法可以产生这个结果。
接下来，构造一个确定性有限自动机M5，它只接受长度严格大于k 的单词，其中k 是M4 中的状态数。对于任何字母表，都有这样一个具有 k+1 个状态的机器；它的构造并不复杂。
接下来构造一个确定性有限自动机M6，其接受的语言是M4和M5接受的语言的交集。在这里再次使用笛卡尔积机构造。
接下来，通过最小化M6构造一个确定性有限自动机M7。
此时，要么 M6 是一个确定性有限自动机，其状态完全不接受任何字符串，要么不接受。在前一种情况下，L1 和 L2 的交集是有限的；在后一种情况下，该交叉点是无限的。为什么？
- M1 接受 L1
- M2 接受 L2
- M3接受L1与L2相交
- M4 是一个 DFA，接受 L1 与 L2 相交并且状态尽可能少
- M5 只接受会导致 M4 两次进入其状态之一的单词
- M6 只接受 L1 中与 L2 相交的单词，这也会导致 M4 两次进入其状态之一。请注意，如果 M6 接受任何内容，则意味着 L1 中有单词与 L2 相交，该语言的最小 DFA 必须循环接受这些单词；因为这样的循环可以进行任意次，这意味着 L1 中必须有无限多个单词与 L2 相交。这与常规语言的泵引理密切相关。
- M7 接受 M6 所做的，但是是最小的。请注意，最小化不是必需的，但它使检查 M6 是否接受任何东西变得微不足道。不接受字符串的最小 DFA 有一个死状态。这很容易检查，并且有标准的最小化算法。
显示相同事物的另一种类似方式是说您可以为交集构造 DFA，然后检查所有长度为 |Q| 的字符串。至 |2Q|。没有一种有限语言会具有 DFA 为该语言接受的任何这些长度的字符串，但每一种无限语言都会至少有一个这样的字符串。这是因为任何接受无限语言的 DFA 都必须循环，并且该循环的长度必须不大于状态数。