未知积分的拉普拉斯变换（时间的函数）

Question

我需要计算积分函数的拉普拉斯变换。看来sympy还不能理解。

假设如下：

from sympy import *
s, t = symbols('s t')
I = Function('I')(t)
eq1 = integrate(I, t)
transforms.laplace_transform(eq1, t, s)

解决方案应该是：I(s) / s

然而，sympy 给出：LaplaceTransform(Integral(I(t), t), t, s)

这似乎是一个悬而未决的问题Issue 7219。有什么解决办法吗？

Answer 1

好像the issue还没有修复

但是，我们可以根据 Eric Wieser 的 "crappy implementation" 给出的导数给出 "crappy workaround"。但是请注意，原始代码段似乎也不适用于导数，因为高阶导数的内部表示自该代码段发布以来似乎已发生变化。

这是我的 "crappy" 解决方法，它只捕获最简单的情况（仅针对 t 的导数，仅针对 t 的不定积分，其中 t是拉普拉斯变换作用的变量):

from sympy import *

def laplace(e, t, s):
    """Hacked-up Laplace transform that handles derivatives and integrals

    Updated generalization of https://github.com/sympy/sympy/issues/7219#issuecomment-154768904
    """

    res = laplace_transform(e, t, s, noconds=True)
    wf = Wild('f')
    lw = LaplaceTransform(wf, t, s)

    for exp in res.find(lw):
        e = exp.match(lw)[wf]
        args = e.args

        if isinstance(e, Derivative):
            # for derivative check that there's only d/dt^n with n>0
            if len(args) == 2 and args[1][0] == t:
                n = args[1][1]
                if n > 0:
                    newexp = s**n * LaplaceTransform(e.args[0], t, s)
                res = res.replace(exp, newexp)

        elif isinstance(e, Integral):
            # for integral check that there's only n consecutive indefinite integrals w.r.t. t
            if all(len(arg) == 1 and arg[0] == t for arg in args[1:]):
                newexp = s**(-len(args[1:])) * LaplaceTransform(args[0], t, s)
                res = res.replace(exp, newexp)

        # otherwise don't do anything

    return res

x = Function('x')
s,t = symbols('s t')
print(laplace(Derivative(x(t), t, 3), t, s))
print(laplace(Integral(Integral(x(t), t), t), t, s))

以上输出

s**3*LaplaceTransform(x(t), t, s)
LaplaceTransform(x(t), t, s)/s**2

符合预期。使用您的具体示例：

I = Function('I')(t)
eq1 = integrate(I, t)
LI = laplace(eq1, t, s)
print(LI)

我们得到

LaplaceTransform(I(t), t, s)/s

这是您预期的“I(s)/s”的正确表示。

上述解决方法的工作方式是它匹配 LaplaceTransform 的参数并检查内部是否有纯 Derivative 或 Integral。对于 Derivative，我们检查是否仅存在与 t 相关的差异；这是 Eric 最初的变通方法所做的，但是虽然他的代码似乎期望 Derivative(x(t), t, t, t) 形式的参数，但当前的导数表示形式是 Derivative(x(t), (t,3))。这就是必须更改处理此用例的原因。

至于Integrals，表示和原来的类似：Integral(x(t), t, t)是一个二重积分。我仍然不得不调整 Eric 的原始表达式，因为此表达式的 args 包含每个积分的元组而不是标量 t，以适应定积分。因为我们只想处理不定积分的简单情况，所以我确保只有不定积分并且只关于 t.

如果 LaplaceTransform 的参数是其他任何内容，则表达式保持不变。

未知积分的拉普拉斯变换（时间的函数）

Laplace transform of unknown integral (function of time)

python

transform

sympy

integral