如何使用一维卷积完成二维卷积？

Question

假设，

u = [1 2 1 3 ; 1 2 1 3 ; 1 2 1 3];
v = [2 0 1 ; 2 0 1 ; 2 0 1];

我想达到

w = conv2(u, v);    % [2 4 3 8 1 3 ; 4 8 6 16 2 6 ; 6 12 9 24 3 9 ; 4 8 6 16 2 6 ; 2 4 3 8 1 3]

而且，假设我不想使用 conv2()。

使用 Matlab，我发现，

w1 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w2 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w3 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]

所以，我们得到：

w123 = [w1 ; w2 ; w3]           % [2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3];

使用Matlab，我还发现，

x = [2 ; 2 ; 2]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [2 ; 4 ; 6 ; 4 ; 2];

x = [4 ; 4 ; 4]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [4 ; 8 ; 12 ; 8 ; 4];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

x = [8 ; 8 ; 8]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [8 ; 16 ; 24 ; 16 ; 8];

x = [1 ; 1 ; 1]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

这意味着，如果我们用核 [2 0 1] 对 u 的每一行执行一维卷积，然后用核 [1; 1; 1] 对每一列应用一维卷积，我们得到：

2  4  3  8  1  3
4  8  6 16  2  6
6 12  9 24  3  9
4  8  6 16  2  6
2  4  3  8  1  3

所以，我的问题是，这个 [1 ; 1 ; 1] 来自哪里？

而且，最重要的是，如果行不相同会发生什么情况？

Answer 1

我想是因为您的矩阵 v 只是同一行 3 次。因此，您可以简单地在

列上使用 [1 1 1] 的第二次卷积

Answer 2

你的一维卷积结合起来得到与二维卷积相同的结果的原因是你的过滤器是 separable. Steve Eddins discussed separable convolutions on his MATLAB blog here。

您的过滤器是可分离的，因为：

[1;1;1] * [2,0,1] = 

   2   0   1
   2   0   1
   2   0   1

但一般来说，并不是所有的 2D 滤波器都是可分离的，只有那些可以分离的才可以变成单独的 1D 卷积。

如何使用一维卷积完成二维卷积？

How to accomplish 2D convolution using 1D convolution?

matlab

convolution