极坐标表示中的最小二乘拟合线

Question

我在机器人定位系统的基础上工作，说实话，我不确定这是数学问题还是实施问题。我正在尝试使用最小二乘拟合将一条线拟合到一组极坐标。该线以极坐标形式表示。我们的主管给了我两个方程式，一个用于计算角度，一个用于计算到原点的距离。（见图）

https://i.stack.imgur.com/jUEZ5.png

我尝试用 C++ 实现方程式。

struct Pt {
    double d, angle;
};

// Polar coordinates of the points (-2, 1) and (5, 1) respectively.
std::vector<Pt> points = { { 2.2360679774997898, 2.6779450445889870 }, { 5.0990195135927845, 0.19739555984988075 } };

double a, r = 0;

double n = points.size();
double sumOfWeights = n;

double num1 = 0, num2 = 0, den1 = 0, den2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    double iP = points[i].d, iTheta = points[i].angle;

    num1 += iP * iP * sin(2 * iTheta);
    den1 += iP * iP * cos(2 * iTheta);

    for (int j = 0; j < n; j++) {
        double jP = points[j].d, jTheta = points[j].angle;

        num2 += iP * jP * cos(iTheta) * sin(jTheta);
        den2 += iP * jP * cos(iTheta + jTheta);

    }
}

a = 0.5 * atan2((num1 - (2.0 / sumOfWeights) * num2), (den1 - (1.0 / sumOfWeights) * den2));

for (int i = 0; i < n; i++) r += points[i].d * cos(points[i].angle - a);
r /= sumOfWeights;

然后我给它点 (-2,1) 和 (5,1) 的极坐标表示，它导致角度为 0，距离为 1.5，这是不正确的，因为直线应该有一个pi/2 的角度和 1 的原点距离，对吗？

Answer 1

我看不出你的代码有任何问题。

在您的示例中，您要查找的行具有等式 y = 1.

根据我的理解，这对应于等于 0 的角度，而不是 pi/2。您表示您的程序提供的角度为 0。

Pi/2是直线最近点到原点的夹角

但是，距离计算存在问题r。下面，我将使用复杂的符号来方便分析： $$z_i = \rho_i \exp{j\theta_i}$.$ .

对于 $w_i = 1$ ，您的距离计算对应于：

$r = \frac{1}{N} \Re(\sum_i z_i e^{-a})$

对于a = 0，这对应于点平均值的实部，在你的例子中确实是1.5。这是你的程序提供的。

将实部替换为虚部即可得到正确的值1，即用sin(.)替换cos(.)。

但是，我不能保证这在所有情况下都有效。我邀请您在互联网上或与您的主管一起检查公式。抱歉暂时不能做得更好。

注意：复杂的符号也可以简化计算。这是一个例子，即使我知道这不是你目前的首要任务：

$\sum_i {\sum_j {w_i w_j \rho_i \rho_j cos \theta_i sin \theta_j}} = \Im(\sum_i w_i z_i)^2$$

注意：我无法在第一步中正确显示 Tex 方程。感谢 Bob__ 的评论，我得以改进它。还不够完美...

极坐标表示中的最小二乘拟合线

Least Squares Fit on Line in polar representation

c++

linear-regression

least-squares

polar-coordinates