如何：CVXPY 矩阵不等式约束

Question

我正在尝试通过以下方式制定优化问题：

我的优化变量 x 是一个 n*n 矩阵。
x 应该是 PSD。
应该在0<=x<=I范围内。意思是，它将在从全零方阵到 n 维单位矩阵的范围内。

这是我到目前为止的想法：

import cvxpy as cp
import numpy as np
import cvxopt

x = cp.Variable((2, 2), PSD=True)
a = cvxopt.matrix([[1, 0], [0, 0]])
b = cvxopt.matrix([[.5, .5], [.5, .5]])
identity = cvxopt.matrix([[1, 0], [0, 1]])
zeros = cvxopt.matrix([[0, 0], [0, 0]])

constraints = [x >= zeros, x <= identity]
objective = cp.Maximize(cp.trace(x*a - x * b))
prob = cp.Problem(objective, constraints)
prob.solve()

这给了我 [[1, 0], [0, 0]] 作为最佳 x 的结果，最大轨迹为 .5。但事实并非如此。因为我在 matlab 的 CVX 中完成了同样的程序，所以我得到的答案矩阵为 [[.85, -.35], [-.35, .14]]，最佳值为 .707。哪个是正确的。

我认为我的约束公式不正确或不符合 cvxpy 标准。如何在我的程序中正确执行约束？

（这是我的代码的 matlab 版本:)

a = [1, 0; 0, 0];
b = [.5, .5; .5, .5];

cvx_begin sdp

variable x(2, 2) hermitian;

maximize(trace(x*a  - x*b))
subject to
x >= 0;
x <= eye(2);

cvx_end

TIA

Answer 1

您需要使用 PSD 约束。如果您将矩阵与标量进行比较，除非您使用 >> 或 <<，否则 cvxpy 会执行元素不等式。您在创建它时已经将 x 限制为 PSD，因此您需要更改的是：

constraints = [x << np.eye(2)]

然后我得到你的解决方案：

array([[ 0.85355339, -0.35355339],
       [-0.35355339,  0.14644661]])

如何：CVXPY 矩阵不等式约束

Howto: CVXPY Matrix Inequality Constraints

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