SimplicialLLT returns 错误的 cholesky 因素

Question

我想使用 Eigen 计算稀疏矩阵的 cholesky 分解。但是，结果不正确，我找不到原因。我如何获得正确答案？

Eigen 中是否实现了利用稀疏矩阵结构来提高性能的特殊例程（例如，对于下例中的带状矩阵或三角矩阵）？

#include <iostream>
#include <Eigen/Sparse>
#include <Eigen/Dense>

int main() 
{

    // create sparse Matrix
    int n = 5; 
    std::vector<Eigen::Triplet<double> > ijv; 
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ijv.push_back(Eigen::Triplet<double>(i,i,1));
        if(i < n-1)
        {
            ijv.push_back(Eigen::Triplet<double>(i+1,i,-0.9));
        }
    }
    Eigen::SparseMatrix<double> X(n,n);
    X.setFromTriplets(ijv.begin(), ijv.end());
    Eigen::SparseMatrix<double> XX = X * X.transpose();

    // Cholesky decomposition 
    Eigen::SimplicialLLT <Eigen::SparseMatrix<double> > cholesky;
    cholesky.analyzePattern(XX);
    cholesky.factorize(XX);

    std::cout << Eigen::MatrixXd(XX) << std::endl;
    std::cout << Eigen::MatrixXd(cholesky.matrixL()) << std::endl;

}

矩阵如下所示：

输入XX：

   1 -0.9    0    0    0
-0.9 1.81 -0.9    0    0
   0 -0.9 1.81 -0.9    0
   0    0 -0.9 1.81 -0.9
   0    0    0 -0.9 1.81

输出（cholesky.matrixL()）：

  1.34536         0         0         0         0
-0.668965   1.16726         0         0         0
        0 -0.771039    1.1025         0         0
        0         0         0         1         0
        0         0 -0.816329      -0.9  0.577587

它应该是什么样子 (X)：

   1    0    0    0   0
-0.9    1    0    0   0
   0 -0.9    1    0   0
   0    0 -0.9    1   0
   0    0    0 -0.9   1

Answer 1

不要忘记 SimplicialLLT 不会因式分解 A = L * L^T 而是 P * A * P^T = L * T^T 与 P 一个置换矩阵。如果您需要 P 作为标识，请使用 NaturalOrdering:

Eigen::SimplicialLLT<Eigen::SparseMatrix<double>, Eigen::Lower, Eigen::NaturalOrdering<int> > cholesky;

Answer 2

SimplicialLLT 计算直到排列的 Cholesky 分解。使用 Eigen::NaturalOrdering 使用恒等排列，您会得到预期的结果：

Eigen::SimplicialLLT <Eigen::SparseMatrix<double>, Eigen::Lower, Eigen::NaturalOrdering<int>> cholesky;
cholesky.compute(XX);

SimplicialLLT returns 错误的 cholesky 因素

SimplicialLLT returns wrong cholesky factors

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