如何找出定向边界框的旋转矩阵

Question

所以我在我的任务中使用了 Matterport 3D 数据集，它使用标准结构描述了定向边界框，但有一个变化如下：

"obb": {
        "centroid":[3.39208,-1.72134,1.13262],
        "axesLengths":[1.11588,0.619098,0.439177],
        "dominantNormal":[-0.707107,-0.707107,0],
        "normalizedAxes":[0,0,1,-0.707107,0.707107,0,-0.707107,-0.707107,0]
      }

我知道定向边界框通常由质心、局部坐标系轴和沿这些轴的长度定义。

在我的例子中，考虑到物体在世界坐标系中只绕垂直轴（z轴）旋转，我想找出它绕z轴旋转的角度。但是为此，我需要将世界坐标系转换为局部坐标系的旋转矩阵。在标准表示的情况下，旋转矩阵只是一个 3x3 矩阵，轴作为列向量。但是，在这种情况下，如果您查看归一化轴数组，则会给出 9 个值，但没有约定哪个轴应该是旋转矩阵中的第一列向量或第二列向量。

假设物体位置是垂直的并且只绕z轴旋转，我可以确定旋转矩阵的最后一列。例如，上述示例中的 [0, 0, 1]。但是如何确定另外两个轴呢？有没有办法在确定时考虑 "dominantNormal" 信息？

Answer 1

假设 normalizeAxes 属性具有以下含义：

[X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3]

然后局部到世界旋转矩阵的列等于向量 XYZ:

    | X1 Y1 Z1 |
R = | X2 Y2 Z2 |
    | X3 Y3 Z3 |

world-to-local 旋转矩阵当然只是这个的逆（=转置）：

         | X1 X2 X3 |
inv(R) = | Y1 Y2 Y3 |
         | Z1 Z2 Z3 |

考虑翻译 centroid = [C1, C2, C3]：

    | X1 Y1 Z1 C1 |
T = | X2 Y2 Z2 C2 |
    | X3 Y3 Z3 C3 |
    | 0  0  0  1  |

         | X1 X2 X3 -dot(C, X) |
inv(T) = | Y1 Y2 Y3 -dot(C, Y) |
         | Z1 Z2 Z3 -dot(C, Z) |
         | 0  0  0       1     |

不确定 dominantNormal 代表什么（似乎没有任何公开可用的文档）；可能是用于着色的元数据，或此 OBB 内几何分布的度量。

Answer 2

让我们以问题中给出的例子为例。给出了归一化轴，但没有按以下任何特定顺序排列。

"normalizedAxes":[0,0,1,-0.707107,0.707107,0,-0.707107,-0.707107,0]

由于我们知道，对象仅绕 z 轴旋转，因此旋转矩阵中的第三列为 [0, 0, 1]。所以这给我们留下了两列；让我们称它们为 axis_0、axis_1.

所以，

axis_0 = [-0.707107, 0.707107, 0] 
axis_1 = [-0.707107, -0.707107, 0]

您可以使用反正切函数计算该轴与全局坐标系中x轴的夹角。比方说，axis_0和axis_1所成的角分别是angle_0和angle_1。

以下关系必须为真，因为我们知道 axis_0 和 axis_1 是正交 .

angle_0 = angle_1 + 90 or angle_1 = angle_0 + 90

所以在前面提到的例子中，你可以注意到，

angle_0 = 135 degrees
angle_1 = 225 degrees (-135 degrees)

由于我们认为逆时针旋转为正，因此角度较小的轴将是旋转矩阵中的第一列，另一个轴将是旋转矩阵中的第二列。

在这种情况下，旋转矩阵如下所示：

[ [ -0.707107, -0.707107,  0],
  [ 0.707107,  -0.707107,  0],
  [ 0,          0,         1],
]

如果使用arctan2函数，请小心处理坐标轴顺时针旋转且旋转后y轴和x轴分别位于第一和第四象限的特殊情况。

如何找出定向边界框的旋转矩阵

How to find out the rotation matrix for the oriented bounding box

3d

bounding-box

rotational-matrices

bounding-volume