绘制复杂函数的分支

Question

我正在尝试绘制一种函数的黎曼曲面（我不确定它是否是正确的名称），如下所示：

这是我尝试过的：

r = (0:1:15)';                           % create a matrix of complex inputs
theta = pi*(-1:0.05:1);
z = r*exp(1i*theta);
w = z.^(1/2)  ;                          % calculate the complex outputs

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)

surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

这给了我以下信息：

我的问题是：

我以为我会绘制第一张图片上的内容，但我得到了其他东西。如果不是黎曼曲面我画的是什么？
如何更改我的代码以获得顶部图？
是否可以在第一个图表上使用弧度刻度？

Answer 1

您的第一个图显示了多值 "function" 的多个分支。它不是通常意义上的真正函数，因为对于给定的 z 你有不止一个函数值。您只能通过绕原点不止一次来重现这一点，即在您的 angular 变量中超过 2*pi 。您绘制的是该函数的主要分支，即对应于从 -pi 到 pi.

的复杂阶段的 sheet

此外，还有一个更根本的问题。一旦您切换到表示为双精度的复数，您将丢失有关原点周围附加相位的任何信息（表示为实部 + 虚部的复数只会导致其复数相位的主值，该值介于 -pi 之间和 pi）。所以你需要根据复数的三角形式计算平方根"manually"：

r = (0:1:15)';                           % create a matrix of complex inputs
theta = pi*(-2:0.05:2);
z = r*exp(1i*theta);
%w = z.^(1/2)  ;                          % calculate the complex outputs
w = sqrt(r)*exp(1i*theta/2);

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)

surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

如您所见，该函数运行正常。请注意，图中 "the scale in radians" 没有意义。您绘制的所有内容都具有 "linear" 维度：实部和虚部。弧度仅对角度有意义，即 theta 类数量。

此外，您可能会注意到上图有圆边，因为我们使用的是极坐标绘图。可以创建一个 rectangular 图，但需要做更多的工作。这是一个部分解决方案。这个想法是将同一个网格缝合两次以绘制函数的两个分支：

r0 = 15;
re = linspace(-r0, r0, 31).';                           % create a matrix of complex inputs
im = linspace(-r0, r0, 31);
z = re + 1j*im;
theta = angle(z);  % atan2(imag(z), real(z));
r = abs(z);

% concatenate the same mesh twice (plotting trick) back to back, insert nan in between
w1 = sqrt(r).*exp(1i*theta/2); % first branch
w2 = sqrt(r).*exp(1i*(theta+2*pi)/2); % second branch

z = [z, nan(size(w1,1),1), z(:,end:-1:1)];
w = [w1, nan(size(w1,1),1), w2(:,end:-1:1)];

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)
surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

结果如下：

如您所见，复杂的部分看起来很奇怪。这是因为复数的相位沿负实半轴跳跃。这个可以补救，但需要更多的工作，这留给 reader 作为练习。我向数据中注入一列 nans 的原因是为了防止在第一个图中出现类似的跳跃伪像。另一种选择是分别绘制函数的两个分支，中间有 hold on，但是必须做额外的工作来标准化图形上的颜色图。

最后，请考虑不使用 jet，而是使用默认的 parula 颜色图。 Jet 对色觉受损的人来说非常糟糕，parula 接近于感知均匀。对于问题的简短介绍，我建议观看 scipy 人的 this great talk。

绘制复杂函数的分支

Plotting the branches of a complex function

matlab

plot

visualization

complex-numbers

surface