对数组执行二重积分

Question

我按照 and here. As stated in those answers, I can not use scipy.integrate.quad 所述对数组执行一维积分以向量化数组上的积分，因为它采用 自适应 算法，这就是为什么我在下面使用 numpy.trapz（我也可以使用 scipy.integrate.simps 或 scipy.integrate.romb）

import numpy as np

# Define some random data
Ndata = 500
data1 = np.random.uniform(.1, .8, Ndata)
data2 = np.random.uniform(.01, .2, Ndata)

# 1D function to integrate
def distFunc(x, c1=1., c2=.1):
    B1 = ((data1 - (1. / x)) / data2)**2
    B2 = ((x - c1) / c2)**2
    f = np.exp(-.5 * B1) * np.exp(-.5 * B2) / c2
    return f

# Values in x to evaluate the integral.
x = np.linspace(.1, 10, 100).reshape(-1, 1)

# Integral in x for each of the Ndata values defined above.
int_exp = np.trapz(distFunc(x), x, axis=0)

这适用于单维，但现在我想执行二重积分，用变量替换 c2 常量：

# 2D function to integrate
def distFunc(x, y, c1=1.):
    B1 = ((data1 - (1. / x)) / data2)**2
    B2 = ((x - c1) / y)**2
    f = np.exp(-.5 * B1) * np.exp(-.5 * B2) / y
    return f

据我所知，唯一可用的函数是 scipy.integrate.dblquad bu 这意味着我不能再一次将积分应用于整个数组，我将不得不使用 for 循环相当慢。

有什么解决办法吗？只要性能合理，我几乎对任何事情都持开放态度（我将这个二重积分插入到 MCMC 中，它需要被评估数百万次）

添加

这是我在 for 循环中使用 scipy.integrate.quad 进行一维积分的尝试（即：一次数组中的一个数据值）。该过程比在整个数组上使用 np.trapz 慢 50 倍以上。

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# Define some random data
Ndata = 500
data1 = np.random.uniform(.1, .8, Ndata)
data2 = np.random.uniform(.01, .2, Ndata)

# Function to integrate
def distFunc2(x, data1_i, data2_i, c1=1., c2=.1):
    B1 = ((data1_i - (1. / x)) / data2_i)**2
    B2 = ((x - c1) / c2)**2
    f = np.exp(-.5 * B1) * np.exp(-.5 * B2) / c2
    return f

s = t.time()
int_exp = np.zeros(Ndata)
for i in range(Ndata):
    int_exp[i] = quad(distFunc2, .1, 10., args=(data1[i], data2[i]))[0]
print(t.time() - s)

添加 2

测试下面给出的答案，它 有点工作 ，但需要注意的是，与 dblquad 相比，它有时会非常严重地失败（这要慢得多但更精确）。我猜这与 np.trapz.

使用的算法有关

# Define some random data
Ndata = 10
data1 = np.random.uniform(.1, 10., Ndata)
data2 = np.random.uniform(.1, .2, Ndata)

c1 = .1
print(integ_dblquad(c1, data1, data2))
print(integ_trapz(c1, data1, data2))

def integ_dblquad(c1, data1, data2):
    def distFunc(y, x, d1_i, d2_i, c1):
        B1 = ((d1_i - (1. / x)) / d2_i)**2
        B2 = ((x - c1) / y)**2
        return (np.exp(-.5 * B1) / d2_i) * np.exp(-.5 * B2) / y

    int_exp = np.zeros(data1.size)
    for i in range(data1.size):
        int_exp[i] = dblquad(
            distFunc, .1, 10., lambda x: 0, lambda x: 5.,
            args=(data1[i], data2[i], c1))[0]

    return np.sum(np.log(int_exp))

def integ_trapz(c1, data1, data2):
    def distFunc2d(x, y):
        B1 = ((data1 - (1. / x)) / data2)**2
        B2 = ((x - c1) / y)**2
        return (np.exp(-.5 * B1) / data2) * np.exp(-.5 * B2) / y

    # Values in x to evaluate the integral.
    x = np.linspace(.1, 10, 1000)
    y = np.linspace(.1, 5., 1000)
    # Integral in x for each of the Ndata values defined above.
    int_exp2d = np.trapz(np.trapz(distFunc2d(x[:, np.newaxis], y[:, np.newaxis, np.newaxis]), y, axis=0), x, axis=0)

    return np.sum(np.log(int_exp2d))

Answer 1

如果我没有正确理解你的问题，你可以调用 trapz 两次：

import numpy as np

# Define some random data
Ndata = 500
data1 = np.random.uniform(.1, .8, Ndata)
data2 = np.random.uniform(.01, .2, Ndata)

# 1D function to integrate
def distFunc(x, c1=1., c2=.1):
    B1 = ((data1 - (1. / x)) / data2)**2
    B2 = ((x - c1) / c2)**2
    f = np.exp(-.5 * B1) * np.exp(-.5 * B2) / c2
    return f

def distFunc2d(x, y, c1=1.):
    B1 = ((data1 - (1. / x)) / data2)**2
    B2 = ((x - c1) / y)**2
    f = np.exp(-.5 * B1) * np.exp(-.5 * B2) / y
    return f

# Values in x to evaluate the integral.
x = np.linspace(.1, 10, 100)
y = np.linspace(.1, 10, 100)

# Integral in x for each of the Ndata values defined above.
int_exp = np.trapz(distFunc(x[:,np.newaxis]), x, axis=0)
int_exp2d = np.trapz(np.trapz(distFunc2d(x[:,np.newaxis],y[:,np.newaxis,np.newaxis]), y, axis=0), x, axis=0)

对数组执行二重积分

Perform a double integral over array

python

numpy

scipy

integral