使用 Heron 公式计算 C 中的平方根

Question

我实现了这个功能：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (x * x - a > 0.000001) {
        x = 0.5 * (x + a / x);
    }
    return x;
}

此功能按预期工作，但我希望对其进行改进。它应该使用无穷无尽的 while 循环来检查类似于 x * x 的东西是否是 a。 a 是用户应该输入的数字。

到目前为止，我没有使用该方法的工作函数...这是我惨败的尝试：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (x * x != a) {
        x = 0.5 * (x + a / x);
    }
    return x;
}

这是我的第一个 post 所以如果有任何不清楚的地方或我应该补充的东西请告诉我。

失败次数 2：

double heron(double a)
{
    double x = (a + 1) / 2;
    while (1) {
        if (x * x == a){
            break;
        } else {
            x = 0.5 * (x + a / x);
        }
    }
    return x;
}

Heron's formula

Answer 1

It's supposed to use and endless while loop to check if something similar to x * x is a

问题：

收敛速度慢

当最初的x错误很大时，改进后的|x - sqrt(a)|错误可能仍然只有原来的一半。鉴于 double 的广泛范围，可能需要 数百次 次迭代才能接近。

参考：Heron's formula.

对于新颖的第一种估计方法：Fast inverse square root。

溢出

x * x in x * x != a 容易溢出。 x != a/x 提供类似的测试，没有范围问题。如果发生溢出，x 可能会与 "infinity" 或 "not-a-number" 得到 "infected" 而无法实现收敛。

振荡

一旦 x 是 "close" 到 sqrt(a)（在 2 的因数内），误差收敛是二次的 - 位数 "right" 每次迭代加倍。这一直持续到 x == a/x 或者，由于 double 数学的特殊性，x 将像商一样在两个值之间无休止地振荡。

进入这个振荡导致OP的循环不终止

将其与测试工具放在一起，证明了足够的收敛性。

#include <assert.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

double rand_finite_double(void) {
  union {
    double d;
    unsigned char uc[sizeof(double)];
  } u;
  do {
    for (unsigned i = 0; i < sizeof u.uc; i++) {
      u.uc[i] = (unsigned char) rand();
    }
  } while (!isfinite(u.d));
  return u.d;
}

double sqrt_heron(double a) {
  double x = (a + 1) / 2;
  double x_previous = -1.0;
  for (int i = 0; i < 1000; i++) {
    double quotient = a / x;
    if (x == quotient || x == x_previous) {
      if (x == quotient) {
        return x;
      }
      return ((x + x_previous) / 2);
    }
    x_previous = x;
    x = 0.5 * (x + quotient);
  }
  // As this code is (should) never be reached, the `for(i)`
  // loop "safety" net code is not needed.
  assert(0);
}

double test_heron(double xx) {
  double x0 = sqrt(xx);
  double x1 = sqrt_heron(xx);
  if (x0 != x1) {
    double delta = fabs(x1 - x0);
    double err = delta / x0;
    static double emax = 0.0;
    if (err > emax) {
      emax = err;
      printf("    %-24.17e %-24.17e %-24.17e %-24.17e\n", xx, x0, x1, err);
      fflush(stdout);
    }
  }
  return 0;
}

int main(void) {
  for (int i = 0; i < 100000000; i++) {
    test_heron(fabs(rand_finite_double()));
  }
  return 0;
}

改进

sqrt_heron(0.0) 有效。
更改代码以获得更好的初始猜测。

double sqrt_heron(double a) {
  if (a > 0.0 && a <= DBL_MAX) {
    // Better initial guess - halve the exponent of `a`
    // Could possible use bit inspection if `double` format known.  
    int expo;
    double significand = frexp(a, &expo);
    double x = ldexp(significand, expo / 2);

    double x_previous = -1.0;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {  // Notice limit moved from 1000 down to < 10
      double quotient = a / x;
      if (x == quotient) {
        return x;
      }
      if (x == x_previous) {
        return (0.5 * (x + x_previous));
      }
      x_previous = x;
      x = 0.5 * (x + quotient);
    }
    assert(0);
  }
  if (a >= 0.0) return a;
  assert(0);  // invalid argument.
}

使用 Heron 公式计算 C 中的平方根

Using Heron's formula to calculate square root in C

c

square-root