在第一象限中找到圆和两条直线的切点

Question

我需要定义明确的表达式来找到点 (x1,y1) 和 (x2,y2)，它们是半径为 r（已知）的圆和两条线（已知方程）的两个切点。圆心 (x0,y0) not 知道并且 not 不需要。见下图。

以我为例，我有以下条件：

第一象限问题：x>0，y>0
行 y=m1*x+b1，m1<=0，b1>=0
行 y=m2*x+b2，m2 < m1，b2>b1
圆心在y=m1*x+b1之上，所以y0>y1
圆心在 r.h.s。 y=m2*x+b2，所以 x0>x2
圆与直线 y=m1*x+b1 相切，所以 (y1-y0)/(x1-x0)=-1/m1
圆与直线 y=m2*x+b2 相切，所以 (y2-y0)/(x2-x0)=-1/m2

我计算了以下内容：

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')             # cirsle's eqn

eq1 = (x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2 - r^2 == 0
eq2 = (x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2 - r^2 == 0
eq3 = y1 - m1*x1 - b1 == 0
eq4 = y2 - m2*x2 - b2 == 0
eq5 = (y1-y0)/(x1-x0) == -1/m1
eq6 = (y2-y0)/(x2-x0) == -1/m2

# unknown: x0,y0,x1,y1,x2,y2
#   known: m1,b1,m2,b2,r

solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,
       x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,
       m1<=0,b1>=0,m2<m1,b2>b1,
       x0>x2,y0>y1,r>0],x0,y0,x1,y1,x2,y2)

为什么这还不足以定义问题？

Answer 1

我完全不知道 Sage（我认为你的代码在其中）或 Mathematica 的细节，但我可以指出一些困难。

首先，我认为您需要 "catch" 将您定义的数学变量放入语言的变量中。所以你可能需要

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')        # cirsle's eqn

接下来，您将所有方程式放入一个 solve 命令中。从图表中可以看出，圆上和两条线上都没有点，但是您尝试找到同时满足所有方程式的所有点。您应该将单个 solve 分成两个命令，每行一个。

接下来，您的要求中没有任何内容可以使您的直线与给定曲线相切。对于一个几乎任意的圆和线，可能没有、一个或两个交点，而且完全出现一个点的可能性极小。您需要限制每条线都与曲线相切。该限制的编程难度适中，似乎并不比找到交点容易。您确定您使用的方法适合您的问题吗？

确保切点在第一象限中还有其他困难，但这不如其他困难重要。

最后，您的代码中没有任何内容表明您的已知值为 m1, b1, m2, b2, r 并且您希望 x0, y0 从最终表达式中删除。（你确实声明你想要 x1, y1, x2, y2 的表达式。）我不知道如何在 Sage 或 Mathematica 中做到这一点。

所涉及的数学问题并不难。点 (x0, y0) 必须位于与给定直线平行的直线上，并且与直线的距离为 r。 (x0, y0) 得到四分。对于其中的每一个，您都可以找到给定线上最接近这些点 (x0, y0) 的点。总共产生四分，然后你只需选择第一象限中的那些。另一种更快的三角函数方法是找到两条给定线之间的角度，然后您可以使用三角函数找到所需点与交点的距离，然后找到这些点。

您确定需要 Sage/Mathematica 为您做这件事吗？

Answer 2

距离为 R 的两条给定直线的平行线相交于圆心。找到这个点后，将其投影到原来的两条直线上。

这些操作有简单的解析表达式。

让这两行成为 a'x+b'y+c'=0，a"x+b"y+c"=0 其中 a'²+b'²=1, a"²+b"²=1（这是比你的方程式稍微更一般的形式）。

平行线的交点就是系统的解

a'x+b'y+c'-r=0
a"x+b"y+c"-r=0,

由克拉默法则给出

    |c'-r  b'| / |a'  b'|         |a'  c'-r| / |a'  b'|
u = |c"-r  b"| / |a"  b"|,    v = |a"  c"-r| / |a"  b"|

并且投影的坐标简单地由

给出

x' = x - a (a'u+b'v+c)
y' = y - b (a'u+b'v+c)

x" = x - a (a"u+b"v+c)
y" = y - b (a"u+b"v+c)

Answer 3

计算 x1、y1、x2 和 y2 作为未知数

Clear[m1, x1, b1, m2, x2, b2, r, x0]
y1 = m1 x1 + b1;
y2 = m2 x2 + b2;
s1 = r/Sqrt[1 + 1/m1^2];
s2 = r/Sqrt[1 + 1/m2^2];

x0 = x0 /. FullSimplify@Solve[
     m1 x0 + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1) == 
      m2 x0 + b2 + (s2 (-(1/m2)) - s2 m2), x0][[1]]

(-b1 + b2 + Sqrt[1 + 1/m1^2] m1 r - Sqrt[1 + 1/m2^2] m2 r)/(m1 - m2)

y0 = FullSimplify[m1 x0 + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1)]

(b2 m1 - m2 (b1 + m1 (-Sqrt[1 + 1/m1^2] + Sqrt[1 + 1/m2^2]) r))/(m1 - m2)

x1 = x1 /. FullSimplify@
   Solve[{(x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2 == r^2}, x1][[1]]

(r + m1 m2 r - Sqrt[1 + 1/m1^2] m1 (b1 - b2 + Sqrt[1 + 1/m2^2] m2 r))/(Sqrt[ 1 + 1/m1^2] m1 (m1 - m2))

x2 = x2 /. FullSimplify@
   Solve[{(x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2 == r^2}, x2][[1]]

(b2 - b1 (1 + m2^2) + Sqrt[1 + 1/m1^2] m1 r + m2 (b2 m2 - (Sqrt[1 + 1/m2^2] + m1 (-Sqrt[1 + 1/m1^2] + Sqrt[1 + 1/m2^2]) m2) r))/((m1 - m2) (1 + m2^2))

使用值进行测试

m1 = -0.28; b1 = 1.64; m2 = -1.08; b2 = 3.84;
r = 3.9062658021579098;

{x1, y1}
{x2, y2}

{3.81302, 0.572355}

{2., 1.68}

Show[Plot[
  {m1 x + b1,
   m1 x + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1),
   m2 x + b2,
   m2 x + b2 + (s2 (-(1/m2)) - s2 m2)}, {x, 0, 10},
  PlotRange -> {{0, 10}, {0, 10}}, AspectRatio -> 1],
 Graphics[Circle[{x0, y0}, r]]]

在第一象限中找到圆和两条直线的切点

Find Tangent Points of Circle and Two Lines in First Quadrant

math

geometry

wolfram-mathematica

sage

computational-geometry