如何使用 3x3 旋转矩阵和平移向量应用变换？

Question

我正在使用 ARCore 进行增强现实项目。每次启动应用程序时，ARCore 的坐标系都会发生变化，以初始位置为原点。我在另一个坐标系中有 5 个点，我可以使用 ARCore 增强图像在 Unity 世界 space 中找到其中的 4 个位置。当然，这些点在我的其他坐标系中具有不同的值。我必须使用它在其他坐标系中的位置在 Unity 世界 space 中找到第 5 个点的位置。

我遵循了这个tutorial to achieve this. But since Unity does not support 3x3 matrices i used Accord.NET 框架。使用教程和 Accord 矩阵，我可以计算一个 3x3 Rotation 矩阵和一个 Translation 向量。

但是，当我尝试使用 TestObject.transform.Translate(AccordtoUnity(Translation),Space.World) 将其应用到我的第 5 个点时，我遇到了麻烦。当最初的 4 个对象和参考对象处于同一方向时，我的翻译工作完美。但是，当我的参考对象旋转时，此翻译不起作用。这当然是有道理的，因为我只做了翻译。我的问题是如何对第 5 点应用旋转和平移。或者有没有办法将我的 3x3 旋转矩阵和转换转换为 Unity 4x4Matrix，从那时起我就可以使用 Matrix4x4.MultiplyPoint3x4。或者是否可以将我的 3x3 旋转矩阵转换为 Quaternion 让我使用 4x4Matrix.SetTRS。我对这种转换有点困惑，因为 4x4Matrix 也包括缩放，但我没有进行任何缩放。

如果有人能给我一些提示或提供更好的方法来找到第 5 点，我会很高兴。谢谢！

编辑：

其实我是根据Daveloper的回答解决的。我像这样构建了一个 Unity 4x4 矩阵：

[ R00 R01 R02 T.x ]
[ R10 R11 R12 T.y ]
[ R20 R21 R22 T.z ]
[ 0    0   0   1  ]

我测试了在 Unity 中创建原始对象并使用上面的矩阵应用平移和旋转，如下所示：

 TestObject.transform.position  = TransformationMatrix.MultiplyPoint3x4(TestObject.transform.position);
 TestObject.transform.rotation *= Quaternion.LookRotation(TransformationMatrix.GetColumn(2), TransformationMatrix.GetColumn(1));

Answer 1

要使用 3x3 旋转矩阵和平移向量来设置变换，请使用

// rotationMatrixCV = your 3x3 rotation matrix; translation = your translation vector

var rotationMatrix = new Matrix4x4();
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
    for (int j = 0; j < 3; j++)
    {
        rotationMatrix[i, j] = rotationMatrixCV[i, j];
    }
}
rotationMatrix[3, 3] = 1f;

var localToWorldMatrix = Matrix4x4.Translate(translation) * rotationMatrix);

Vector3 scale;
scale.x = new Vector4(localToWorldMatrix.m00, localToWorldMatrix.m10, matrix.m20, localToWorldMatrix.m30).magnitude;
scale.y = new Vector4(localToWorldMatrix.m01, localToWorldMatrix.m11, matrix.m21, localToWorldMatrix.m31).magnitude;
scale.z = new Vector4(localToWorldMatrix.m02, localToWorldMatrix.m12, matrix.m22, localToWorldMatrix.m32).magnitude;
transform.localScale = scale;

Vector3 position;
position.x = localToWorldMatrix.m03;
position.y = localToWorldMatrix.m13;
position.z = localToWorldMatrix.m23;
transform.position = position;

Vector3 forward;
forward.x = localToWorldMatrix.m02;
forward.y = localToWorldMatrix.m12;
forward.z = localToWorldMatrix.m22;

Vector3 upwards;
upwards.x = localToWorldMatrix.m01;
upwards.y = localToWorldMatrix.m11;
upwards.z = localToWorldMatrix.m21;

transform.rotation = Quaternion.LookRotation(forward, upwards);

注意:

仅当此旋转和平移在当前使用的坐标系中定义您的第 5 个点在世界中的位置时，这才有用...

如果您的旋转和平移还有其他意义，您将需要做更多的工作。如果您能准确定义这种旋转和平移的含义，我们很乐意提供进一步的帮助。

Answer 2

如果我正确理解你的问题，你希望能够从 3x3 矩阵创建旋转四元数。

您可以将 3x3 旋转矩阵想象成三个长度为 1 且彼此成 90 度的向量。例如：

| forward.x    forward.y    forward.z |
| up.x         up.y         up.z      |
| right.x      right.y      right.z   |

一种非常可靠的转换方法是从矩阵中取出前向和向上向量，并将它们应用于 Unity 方法 https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Quaternion.LookRotation.html

这将创建一个与您的矩阵相对应的四元数。根据您的实际情况，您可能需要使用四元数的倒数，但本质上这就是您所需要的。

请注意，您只需要向前和向上，因为向右始终是这两者的叉积，不添加任何信息。还要注意你的矩阵是一个纯旋转矩阵（即没有缩放或倾斜），否则你可能会得到意想不到的结果。

如何使用 3x3 旋转矩阵和平移向量应用变换？

How to apply transformation using 3x3 rotation matrix and a translation vector?

transformation

matrix

unity3d

accord.net

arcore