评估 Python 3.7 中的积分；奇怪的行为

Question

我写了一些代码来近似积分： $\int_{1}^{2}(ln(x))^ndx$ 使用 Python 3.7，但是发生了一些奇怪的行为，这给了我错误的结果。我通过以下方式推导出公式：

令 $I_{n}= \int_{1}^{2}(ln(x))^ndx$ 然后 $I_{0}= \int_{1}^{2}1dx = 1$ 和 $I_{n}= (2(ln(2)^n)) - nI_n_-_1$ for n = 1,2,3...

这在我的代码中实现了：

import numpy as np

I = 1
for n in range(1,21):
    I = 2*(np.log(2))**n - n*I

这应该导致 I = 0.0000419426270488826，但我的代码给出了 50.40429353428721。我一直在尝试使用 print 语句弄清楚发生了什么：

print("Iteration: ",n)
print("first half: ",2*(np.log(2))**n)
print("second half: ", n*I)
print("New I: ",I, "\n")

你可以看到等式的后半部分在第17次迭代中变成了负数，但我不明白为什么，因为I和n应该都是正数。我的猜测是这就是问题开始出现的地方。有谁知道为什么结果不正确，以及我的假设是否正确？我正在使用 Mac OS X el Capitan 10.11.6

Answer 1

我认为是因为溢出错误。如果使用 Decimal 提高浮点精度，问题就会解决。这是代码：

import numpy as np
from decimal import *
getcontext()

n = 20
print('n=',n)
def In(n):
    if n==0:
        return 1
    else:
        return 2*Decimal(2).ln()**n - n*In(n-1)

print('I{}={}'.format(n,float(In(n))))

# check with an existing function of Scipy
import scipy.integrate as integrate
result = integrate.quad(lambda x: np.log(x)**n, 1, 2)
print('I{}={}'.format(n,result))

这是输出：

n= 20
I20=4.1942535120159466e-05
I20=(4.1942627048882645e-05, 7.29235597161084e-18)

顺便说一句，需要更正公式，将ln(x)替换为ln(2)。

更新：问题的名称可能是 loss of significance

评估 Python 3.7 中的积分；奇怪的行为

Evaluating integrals in Python 3.7; strange behaviour

python-3.x

for-loop

math

integral