分段函数的积分给出不正确的结果

Question

使用最新版本的 sympy (0.7.6) 在确定支持 [0,y] 的函数的积分时，我得到以下错误结果：

from sympy import *
a,b,c,x,z = symbols("a,b,c,x,z",real = True)
y = Symbol("y",real=True,positive=True)
inner = Piecewise((0,(x>=y)|(x<0)|(b>c)),(a,True))
I = Integral(inner,(x,0,z))
Eq(I,I.doit())

这是不正确的，因为实际结果应该交换最后两种情况。这可以通过检查导数来确认：

Derivative(I.doit(),z).doit().simplify().subs(z,x)

到处都减少到 0。

有趣的是，当通过替换 inner = Piecewise((0,(x>=y)|(x<0)),(a,True)) 来删除条件 (b>c) 时，我得到一个 TypeError:

TypeError: cannot determine truth value of
-oo < y

我是否错误地使用了这个库，或者这实际上是一个严重的 sympy 错误？

Answer 1

是的，sympy 0.7.6 在这种情况下是错误的，在其他一些此类情况下也是如此。一般来说，我不知道有什么符号数学包可以信任用分段定义的函数进行微积分。

请注意，虽然

inner = Piecewise((0, (x>=y)|(x<0)), (a,True))

在集成时抛出 TypeError，逻辑上等效的定义

inner = Piecewise((a, (x<y)&(x>=0)), (0,True))

导致正确的结果

Piecewise((a*z, And(z < y, z >= 0)), (0, And(z <= 0, z >= -oo)), (a*y, True))

对了，之前的版本，sympy 0.7.5，handles

inner = Piecewise( (0, (x>=y)|(x<0)), (a,True) )

没有类型错误，产生正确的结果（以不同的形式）：

Piecewise((0, z <= 0), (a*y, z >= y), (a*z, True))

这是另一个更简单的错误行为示例：

>>> Integral(Piecewise((1,(x<1)|(z<x)), (0,True)) ,(x,0,2)).doit()
-Max(0, Min(2, Max(0, z))) + 3

>>> Integral(Piecewise((1,(x<1)|(x>z)), (0,True)) ,(x,0,2)).doit()
-Max(0, Min(2, Max(1, z))) + 3

第一个结果不正确（例如，z=0 时失败）。第二个是正确的。两个公式之间的唯一区别是 z<x 与 x>z。

分段函数的积分给出不正确的结果

Integral of piecewise function gives incorrect result

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